Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 819 987291 984607 2026-10-12T06:50:22Z Marvoir 1746 /* Notion de groupe simple */ formulation plus précise 987291 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, cela est vrai aussi pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Remarque. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>. Il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], problème 14. Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Un groupes abélien est simple si et seulement s'il est isomorphe à un groupe <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe normal de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).<br /> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)<br /> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. Prouvons maintenant que <math>H_{G}</math> est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.<br /> Soit K un sous-groupe normal de G contenu dans H; il s'agit de prouver que :(thèse 4) <math>K \leq H_{G}</math>. Puisque K est normal dans G, nous avons, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g K g^{-1} = K</math>. Par hypothèse sur K, le membre droit est contenu dans H, donc, pour tout élément ''g'' de G, nous avons :<math>g K g^{-1} \leq H</math>, d'où :<math>K \leq g^{-1} H g</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, nous avons donc :(5) <math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g^{-1} H g</math>. Puisque <math>g \mapsto g^{-1}</math> définit une permutation de l'ensemble G, la relation (5) peut s'écrire :<math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g H g^{-1}</math>, c'est-à-dire :<math>K \leq H_{G}</math>, ce qui prouve la thèse (4). Donc :<math>H_{G}</math> est bien le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. Pour tout élément ''g'' de G et tout élément X de l'ensemble G/H, on définit de manière évidente l'élément gX de G/H et on vérifie facilement que pour tout élément ''g'' de G, <math>X \mapsto gX</math> définit une permutation de l'ensemble G/H, autrement dit un élément du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. Notons <math>t_g</math> cet élément de <math>S_{G/H}</math>.<br /> Alors, pour tous éléments <math>g, g'</math> de G, nous avons :<math>t_{g g'} = t_{g} \circ t_{g'}</math>, donc, si nous désignons par T l'application <math>g \mapsto t_g</math> de G dans <math>S_{G/H}</math>, :T est un homomorphisme de G dans <math>S_{G/H}</math>. Un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si <math>t_g</math> est la permutation identique de l'ensemble G/H, autrement dit si et seulement si pour toute classe à gauche X de G modulo H, <math>t_g</math> applique X sur elle-même, autrement dit encore si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, <math>g u H = u H</math>. La condition <math>g u H = u H</math> revient à <math>u^{-1} g u H = H</math>, ou encore à <math> g \in u H u^{-1}</math>, donc un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, ''g'' appartient à <math>u H u^{-1}</math>. Cela revient à dire que :le noyau de T est égal à <math>H_{G}</math>. Dès lors, d'après le premier théorème d'isomorphisme (voir plus haut), <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à l'image de l'homomorphisme T. Puisque cette image est un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>, <math>G/H_{G}</math> est donc isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>. Si l'indice [G:H] est fini et qu'on le note ''n'', alors, d'après ce qui précède, <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_n</math>, ce qui montre en particulier que si un sous-groupe H d'un groupe G est d'indice fini ''n'', le cœur de H dans G est lui aussi d'indice fini et cet indice divise n!. Cela achève la démonstration. }} Remarques. 1° Dans la démonstration, nous avons considéré un homomorphisme d'un groupe dans un certain groupe symétrique. Un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe symétrique <math>S_E</math> correspond à ce qu'on appelle une action du groupe G sur l'ensemble E. Ces actions seront étudiées dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]].<br /> 2° Dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]], le théorème qui précède nous permettra de démontrer le ''théorème de plongement'', qui joue un rôle important dans l'étude des groupes simples finis. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} jvyv730ympjcjr239yn60afum8hrbnl 0 8800 987295 987169 2026-10-12T09:38:22Z Marvoir 1746 /* Vocabulaire */ indiqué en note la terminologie anglaise correspondant à "libre" 987295 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. * On pourrait être tenté de penser que les opérations d'un groupe G sur un ensemble sont quelque chose d'extérieur au groupe G et ne peuvent donc pas fournir de renseignements sur la structure interne de G, mais ce serait une erreur. (Voir par exemple, dans la suite du cours, le chapitre [[../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) Le lecteur est donc invité à considérer le présent chapitre comme fondamental et à l'étudier attentivement<ref>Daniel Perrin, Cours d'algèbre, 2008, pp. 13-14, attire l'attention sur l'importance des opérations de groupes pour l'étude de la structure interne des groupes.</ref>. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Dans la terminologie de Bourbaki, le ''stabilisateur'' d'une partie Y de X est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit contenu dans Y, le ''stabilisateur strict'' de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que gY soit égal à Y et le fixateur de Y est l'ensemble des éléments g de G tels que, pour tout élément y de Y, on ait gy = y. On vérifie facilement que le stabilisateur strict et le fixateur de Y sont des sous-groupes de G, et que le stabilisateur de Y est un sous-monoïde de G<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, Chapitres 1 à 3'', réimpr. Springer, 2007, ch. I, § 5, n° 2, déf. 3, p. I.51, prop. 1 et corollaire, p. I.52.</ref>. * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre'''<ref>C'est la terminologie de N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64. J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., Springer, 1994, p. 252, et D.J. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2{{e}} éd., Springer, 1996, pp. 31 et 35, appellent ''regular'' une opération ''transitive'' qui est libre au sens de Bourbaki. Autrement dit, une action ''regular'' dans la terminologie de Rotman et de Robinson est, dans la terminologie de Bourbaki, une application simplement transitive (voir plus loin).</ref> lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>, où <math>O(x)</math> désigne l'orbite de ''x''. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} h7pfq0hzdp1yvsn0zk2olct1wkzh5vs 0 17361 987292 982284 2026-10-12T07:27:07Z Marvoir 1746 petit fait un peu bizarre 987292 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | chapitre = [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] | niveau = 13 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} == Problème 1 == Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit H un sous-groupe d'indice 2 du groupe G. Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est normal. }} == Problème 2 == Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par ''id'' la permutation identique de E. Si ''a'' et ''b'' sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique ''a'' sur ''b'', ''b'' sur ''a'' et laisse donc fixe l'élément de E distinct de ''a'' et de ''b''. Il est clair que {''id'', (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S. {{Solution | contenu = Il est clair que (1 3)^-1 = (1 3), donc (1 3)^-1 ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (1 3) ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (2 3). Comme (2 3) n'appartient pas au sous-groupe {''id'', (1 2)}, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dans S. }} == Problème 3 == Soient ''G'' un groupe et <math>(H_{i})_{i \in I}</math> une famille de sous-groupes de ''G''. On désigne par ''H'' le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i''. Prouver que :<math>(1) \qquad \bigcap _{i \in I}N_{G}(H_{i}) \subseteq N_{G}(H)</math> et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie. {{Solution | contenu = Prouvons la relation (1). Soit ''g'' un élément de ''G'' qui normalise tous les ''H_i''; il s'agit de prouver que ''g'' normalise ''H''. Désignons par <math>\sigma_{g}</math> l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G''. Il s'agit de prouver que ''H'' est invariant par <math>\sigma_{g}</math>. Or <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math>; puisque ''g'' normalise tous les ''H_i'', les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math> sont les ''H_i''. Donc <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i'', c'est-à-dire est égal à ''H'', donc ''H'' est bien invariant par <math>\sigma_{g}</math> comme annoncé.<br /> Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n’est pas vraie. Soit ''G'' un groupe admettant un sous-groupe ''K'' non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons ''H₁'' = ''K'' et ''H₂'' = ''G''. Le sous-groupe ''H'' engendré par ''H₁'' et ''H₂'' est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) \cap N_{G}(H_{2})</math>, car ''G'' n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) = N_{G}(K)</math>. }} == Problème 4 == Soient G₁ et G₂ deux groupes, ''f'' un homomorphisme surjectif de G₁ sur G₂. Soit A une partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G₂ engendré par f(A). {{Solution | contenu = Du fait que ''f'' est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f{{exp|-1}}(K), qui est un sous-groupe distingué de G₁. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f{{exp|-1}}(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé. }} == Problème 5 == Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : ''x'' étant un élément de H et ''y'' un élément de K, considérer l'élément x^-1 y^-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x^-1 y^-1 x y au chapitre [[../../Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]].) {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de H et ''y'' un élément de K. Il s'agit de prouver que ''x'' et ''y'' commutent. Cela revient à prouver que x^-1 y^-1 x y = 1. Vu les hypothèses, il suffit de prouver que x^-1 y^-1 x y appartient à H et à K. Il appartient à H parce qu’il est le produit de x^-1, qui appartient à H, et de y^-1 x y, qui appartient à H parce que H est normal dans G. De même, x^-1 y^-1 x y appartient à K, parce qu’il est le produit de x^-1 y^-1 x et de ''y'', qui appartiennent tous deux à K. }} Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre [[../../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]]. == Problème 6 == Soient <math>G</math> un groupe, <math>H</math> un sous-groupe distingué de <math>G</math> et <math>K</math> un sous-groupe de <math>G</math> contenant <math>H</math>. Notons <math>G/K</math> l’ensemble des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>K</math> (ici, <math>G/K</math> n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à <math>G/H</math>). # Montrer qu’il existe une unique application <math>h</math> de <math>G/H</math> dans <math>G/K</math> telle que, pour tout <math>x</math> dans <math>G</math>, <math>h(xH) = xK</math>. # Montrer que, pour tous <math>X</math> et <math>Y</math> dans <math>G/H</math>, <math>h(X) = h(Y)</math> équivaut à ce que <math>X</math> et <math>Y</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. {{Solution | contenu = <ol> <li>'''Existence''' <p> La seule chose à montrer est que la définition <math>h(xH) = xK</math> ne dépend pas du représentant choisi <math>x</math> de la classe <math>xH\in G/H</math>. Prenons donc <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> dans <math>G</math> tels que <math>xH = x^{\prime} H</math> et montrons que <math>xK = x^{\prime} K</math>. Comme <math>xH = x^{\prime} H</math>, on a <math>x^{-1} x^{\prime} \in H</math>, or <math>H\subseteq K</math> donc <math>x^{-1} x^{\prime} \in K</math>, ce qui prouve que <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> sont dans la même classe à gauche modulo <math>K</math>, c'est-à-dire <math>xK = x^{\prime} K</math>. L'application <math>h</math> est donc bien définie. </p> <p> '''Unicité''' </p> <p> Tout élément de <math>G/H</math> s'écrit <math>xH</math> pour un certain <math>x</math> dans <math>G</math>. La relation donnée définit donc l'image de chaque élément de l'ensemble de départ de <math>h</math>, ce qui prouve l'unicité.</li> <p> <li>Notons <math>p</math> l'homomorphisme canonique de <math>G</math> sur <math>G/H</math>. Pour tous <math>x</math> et <math>y</math> dans <math>G</math>, on a : <p> <math> \begin{align} xK = yK &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ x=yk\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH = ykH && \text{car } H \subseteq K\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH=yH.kH && \text{car } p \text{ est un morphisme}\\ &\Leftrightarrow\ \exists \alpha \in K/H:\ xH = yH.\alpha && \text{car } \{ kH,\ k \in K \} = p(K) = K/H \end{align} </math> </p> <p> Donc <math>xK = yK</math> équivaut à ce que les éléments <math>xH</math> et <math>yH</math> de <math>G/H</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. Ceci prouve ce que l'on voulait, puisque si <math>X = xH</math> et <math>Y = yH</math> sont des éléments de <math>G/H</math>, alors <math>h(X) = xK</math> et <math>h(Y) = yK</math>. </p> <p> Remarque : c'est l'hypothèse « <math>H</math> distingué dans <math>G</math> » qui nous permet d'avoir le ''morphisme de groupes'' <math>p</math>. </p> </li> </ol> }} == Problème 7 == a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H; :2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N. {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°. Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. D'après le premier théorème d'isomorphisme, H est isomorphe au groupe quotient G/Ker f, ce qui prouve 2°.<br /> Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Par hypothèse, il existe un sous-groupe normal N de G et un isomorphisme <math>\sigma</math> de G/N sur H. Si <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme (surjectif) canonique de G sur G/N, <math>\sigma \circ \varphi</math> est un homomorphisme surjectif de G sur H, ce qui prouve 1°. }} b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K, :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert .</math> (Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).) {{Solution | contenu = Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. Un groupe K étant donné, considérons l'application :<math>\tilde{f} : Hom(H, K) \to Hom(G, K) : g \mapsto g \circ f</math>. Cette application est injective car ''f'', étant surjectif, est simplifiable à droite du signe <math>\circ</math>. Le fait que <math>\tilde{f}</math> soit une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K) entraîne que :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert </math> ce qui démontre l'énoncé. }} Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même [[../../Groupes libres, premiers éléments|groupe libre]]. == Problème 8 == Soient A et B des groupes ''abéliens''. Prouver que pour tout homomorphisme <math>f</math> de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° <math>f</math> est surjectif; :2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de <math>f</math>) dont une certaine propriété équivaut à ce que <math>f</math> soit surjectif. {{Solution | contenu = Prouvons que 1° entraîne 2°. Soit <math>f</math> un homomorphisme surjectif de A dans B, soit C un groupe abélien, soient <math>g</math> et <math>h</math> des homomorphismes de B dans C tels que <math>g \circ f = h \circ f</math> ; il s'agit de prouver que <math>g = h .</math> Soit <math>b</math> un élément de B; puisque <math>f</math> est supposé surjectif, il existe un élément <math>a</math> de A tel que <math>b = f(a) .</math> D'après l'hypothèse <math>g \circ f = h \circ f</math>, nous avons <math>g(f(a)) = h(f(a))</math>, autrement dit <math>g(b) = h(b). </math> Ceci étant démontré pour tout élément <math>b</math> de B, nous avons donc <math>g = h. </math> Comme nous l'avons vu, cela prouve que la condition 1° de l'énoncé entraîne la condition 2°. (On pouvait aussi le déduire de [[Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 2-5|la propriété analogue dans la catégorie des ensembles]].) Réciproquement, prouvons que 2° entraîne 1°. Soit <math>f</math> un homomorphisme de A dans B tel que :(hyp. 1)<math>\qquad</math>pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Il s'agit de prouver que <math>f</math> est surjectif. Puisque B est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux et les quotients correspondants sont abéliens. Dans l'hypothèse (1), prenons C égal à B/f(A), prenons pour <math>g</math> l'homomorphisme canonique de B sur C = B/f(A) et prenons pour <math>h</math> l'homomorphisme nul de B dans C = B/f(A). Alors <math>g \circ f</math> et <math>h \circ f</math> sont tous deux égaux à l'homomorphisme nul de A dans C = B/f(A), donc, d'après notre hypothèse (1), <math>g = h </math>, c'est-à-dire que pour tout élément <math>b</math> de B, la classe de <math>b</math> modulo f(A) est la classe nulle f(A). Cela revient à dire que tout élément de B appartient à f(A), autrement dit <math>f</math> est surjectif. Nous avons donc prouvé que la condition 2° de l'énoncé entraîne la condition 1° }} Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les [[w:épimorphisme|épimorphismes]] de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). == Problème 9 == Soit G un groupe fini non trivial, soit ''p'' le plus petit facteur premier de l'ordre de G, soit H un sous-groupe d'indice ''p'' de G. (Il n'existe pas forcément un tel sous-groupe H. Par exemple, le groupe <math>A_4</math>, qui sera défini au chapitre [[../../Groupes alternés|Groupes alternés]], est un groupe d'ordre 12 sans sous-groupe d'indice 2, comme on le verra dans un [[../Groupes alternés|exercice sur les groupes alternés]].) Prouver que H est un sous-groupe normal de G. (Indication : raisonner sur l'indice <math>[G:H_{G}]</math>, où <math>H_{G}</math> désigne le cœur de H dans G.) {{Solution | contenu = D'après un théorème démontré dans le [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|chapitre théorique]], l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''!. Puisque cet indice divise aussi l'ordre <math>\vert G \vert</math> de G, :(1) l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise le PGCD de ''p''! et de <math>\vert G \vert</math>. Mais puisque ''p'' est supposé être le plus petit facteur premier de <math>\vert G \vert</math>, ''p''! (égal à <math>p \ (p-1)!</math>) est le produit de ''p'' par un nombre premier avec <math>\vert G \vert</math>, donc le PGCD de ''p''! et de <math>\vert G \vert</math> est égal à ''p'', donc (1) signifie que l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''. Puisque <math>H_{G}</math> est contenu dans H, il résulte donc de la formule des indices que <math>H = H_{G}</math>. Puisque, par définition, <math>H_{G}</math> est normal dans G, H est donc normal dans G. }} == Problème 10 == Soient G un groupe et P une partie de G. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :a) il existe un sous-groupe de G tel que P soit une classe à droite modulo ce sous-groupe; :b) il existe un sous-groupe de G tel que P soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Soient H un sous-groupe de G et ''x'' un élément de G. Alors <math>Hx = x(x^{-1}Hx)</math> et <math>xH = (xHx^{-1})x</math> et, d'après le chapitre théorique, <math>x^{-1}Hx</math> et <math>xHx^{-1}</math> sont des sous-groupes de G. Donc Hx est une classe à gauche modulo le sous-groupe <math>x^{-1}Hx</math> de G et xH est une classe à droite modulo le sous-groupe <math>xHx^{-1}</math> de G. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} mxexlv641h0jtmnx6kuc5j8nnvkim8v 0 22505 987260 950762 2026-10-11T13:46:03Z ~2026-54593-76 81155 /* Indice d'un sous-groupe */ plus précis 987260 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../Groupes, premières notions/]] | suivant = [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] | page_liée = Exercices/Classes modulo un sous-groupe }} == Classes à gauche et classes à droite suivant un sous-groupe == Soient <math>(G,\star)</math> un groupe et <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>. Le lecteur vérifiera que la relation <math>x^{-1}y \in H</math> est une relation d'équivalence (en <math>x</math> et <math>y</math>) dans <math>G</math> et que les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de <math>G</math> de la forme <math>xH</math> où <math>x</math> parcourt <math>G</math>. On appelle ces parties de <math>G</math> les classes à gauche (de <math>G</math>) suivant <math>H</math>, ou encore modulo <math>H</math>. De même, la relation <math>yx^{-1} \in H</math> est une relation d'équivalence dans <math>G</math> et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de <math>G</math> de la forme <math>Hx</math>, où <math>x</math> parcourt <math>G</math>. On appelle ces parties de <math>G</math> les classes à droite (de <math>G</math>) suivant <math>H</math>, ou encore modulo <math>H</math>. La classe à gauche et la classe à droite suivant <math>H</math> de l'élément neutre sont toutes deux égales à <math>H</math> lui-même. De façon générale, la classe à gauche <math>xH</math> d'un élément <math>x</math> de <math>G</math> est égale à <math>H</math> si et seulement si <math>x</math> appartient à <math>H</math>. Même chose pour la classe à droite. Il est clair que si <math>G</math> est commutatif, les classes à gauche suivant <math>G</math> sont identiques aux classes à droite. Plus généralement, même si <math>G</math> n’est pas commutatif, il se peut que les classes à gauche suivant un certain sous-groupe <math>H</math> de <math>G</math> soient identiques aux classes à droite. Un tel sous-groupe est dit normal, ou encore distingué, ou encore invariant. On y reviendra plus loin. Nous noterons <math>G/H</math> l’ensemble des classes à gauche d'un groupe <math>G</math> modulo un sous-groupe <math>H</math> de <math>G</math> (c'est-à-dire : l'ensemble quotient de <math>G</math> par la relation d'équivalence évoquée plus haut)<ref>Cette notation est employée par N. Bourbaki, ''Algèbre'', Paris, 1970, ch. I, § 5, {{numéro}}5, p. 56.</ref>. == Indice d'un sous-groupe == {{Wikipédia|Indice d'un sous-groupe}} Si <math>H</math> est un sous-groupe de <math>G</math>, l'application <math>X \mapsto X^{-1}</math> est une bijection de l’ensemble des classes à gauche modulo <math>H</math> sur l’ensemble des classes à droite modulo <math>H</math>, donc l’ensemble des classes à gauche modulo <math>H</math> et l’ensemble des classes à droite modulo <math>H</math> ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de <math>H</math> dans <math>G</math> et noté <math>(G:H)</math>, ou encore <math>[G:H]</math>, ou encore <math>|G:H|</math>. Exemples : l'indice de <math>G</math> dans lui-même est égal à <math>1</math> ; l'indice dans <math>G</math> du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l’ordre de <math>G</math>. Toutes les classes à gauche (et toutes les classes à droite) suivant <math>H</math> ont le même cardinal, à savoir l’ordre de <math>H</math>. Comme la somme des cardinaux des classes d'une relation d'équivalence sur un ensemble est le cardinal de cet ensemble, nous avons donc : :<math>\vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert</math>. Il en résulte que l’ordre de <math>H</math> divise celui de <math>G</math>, ce qui est banal si <math>G</math> est infini, mais constitue dans le cas fini l'important {{Théorème |titre=Théorème de Lagrange |contenu={{Wikipédia|Théorème de Lagrange sur les groupes}} L'ordre d'un sous-groupe divise l’ordre du groupe. }} Exemple : * Nous verrons plus loin qu’il existe des groupes finis d'ordre premier, dont l'exemple classique est le groupe additif <math>\Z/p\Z</math>, avec <math>p</math> premier. (Il s'agit d'un groupe quotient, dont la définition est donnée plus bas.) En raison du théorème de Lagrange, les seuls sous-groupes possibles de ce groupe sont d'ordre <math>1</math> ou <math>p</math>. Autrement dit, ce groupe n'a pas de sous-groupe propre (c'est-à-dire : différent de lui-même) non trivial. Remarques : * Comme noté, les groupes finis sont les seuls groupes pour lesquels le théorème de Lagrange est intéressant. Il peut alors s'énoncer comme suit : soit <math>G</math> un groupe fini et <math>d</math> un nombre naturel. S'il existe un sous-groupe d'ordre <math>d</math> de <math>G</math>, <math>d</math> divise l’ordre de <math>G</math>. La réciproque du théorème ainsi formulé n’est pas vraie, en ce sens que si <math>d</math> est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini, ce groupe n'admet pas forcément de sous-groupe d'ordre <math>d</math> : nous verrons, par exemple, dans [[Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés|les exercices sur le chapitre ''Groupes alternés'']] que le groupe alterné A₄, qui est d'ordre 12, n' a pas de sous-groupe d'ordre 6. Par contre, nous montrerons plus loin que cette réciproque est vraie dans le cas des groupes abéliens. Dans le cas général, nous rencontrerons des réciproques partielles (théorèmes [[../Théorèmes de Sylow#Premier théorème de Sylow|de Cauchy, de Sylow]] et [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall#Théorème de Philip Hall|de Hall]], [[../Exercices/Groupes nilpotents#Problème 12 (Ordres des sous-groupes normaux d'un groupe nilpotent fini)|ordres des sous-groupes normaux d'un groupe nilpotent fini]]). * La relation :<math>\vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert</math> montre aussi que l'indice <math> \vert G:H \vert</math> divise <math> \vert G \vert</math>. {{Définition | contenu = Si H est un sous-groupe d'un groupe G, on dit qu'une partie T de G est une transversale à droite (resp. une transversale à gauche) de H dans G, ou encore un système complet de représentants des classes à droite (resp. à gauche) de G suivant H, si T comprend un et un seul élément de chaque classe à droite (resp. à gauche) de G suivant H. Dire qu'une partie T de G est une transversale à droite (resp. à gauche) de H dans G revient à dire que l’application <math>H \times T \rightarrow G : (h,t) \mapsto ht</math> (resp. l’application <math>T \times H \rightarrow G : (t,h) \mapsto th</math>) est une bijection. }} Au lieu de « transversale à droite » (resp. « transversale à gauche »), nous dirons aussi « transversale droite » (resp. « transversale gauche »). {{Théorème |titre=Existence des transversales |contenu= Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Il existe (au moins) une transversale droite (resp. gauche) de H dans G. }} Démonstration. Démontrons l'existence d'une transversale droite. Désignons par D l'ensemble des classes à droite de H dans G. Ces classes sont non vides, donc, d'après l'axiome du choix, il existe une application ''f'' de D dans G qui à toute classe à droite fait correspondre un élément de cette classe. (L'axiome du choix n'est pas nécessaire si l'ensemble D est fini, c'est-à-dire si H est d'indice fini dans G.) On vérifie facilement que l'image de ''f'' est une transversale droite de H dans G. (On a simplement adapté à un cas particulier la démonstration de ce théorème de théorie des ensembles : étant donné une partition P d'un ensemble E, il existe une partie de T de E telle que toute classe de la partition P comprenne un et un seul élément de T.) {{Théorème | titre=Formule des indices | contenu= Soient <math>G</math> un groupe, <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math> et <math>K</math> un sous-groupe de <math>H</math>, autrement dit un sous-groupe de <math>G</math> contenu dans <math>H</math>. Alors <math>\vert G:K \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert</math>. }} Démonstration. Choisissons un système de représentants des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>H</math>, c'est-à-dire une famille <math>\left(x_i\right)_{i\in I}</math> d'éléments de <math>G</math> telle que, pour toute classe à gauche de <math>G</math> suivant <math>H</math>, il existe un et un seul <math>i\in I</math> pour lequel <math>x_i</math> appartienne à cette classe ; donc <math>\vert G:H \vert =\operatorname{Card}(I)</math>. De même, choisissons une famille <math>(y_j)_{j\in J}</math> d'éléments de <math>H</math> telle que, pour toute classe à gauche de <math>H</math> suivant <math>K</math>, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>y_j</math> appartienne à cette classe ; donc <math>\vert H:K \vert =\operatorname{Card}(J)</math>. Prouvons que la famille <math>(x_iy_j)_{(i,j)\in I\times J}</math> est un système de représentants des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>K</math>. Soit <math>x</math> un élément de <math>G</math>. Puisque les <math>x_i</math> forment un système de représentants des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>H</math>, il existe <math>i\in I</math> et <math>h\in H</math> tels que <math>x=x_ih</math>. Puisque les <math>y_j</math> forment un système de représentants des classes à gauche de <math>H</math> suivant <math>K</math>, il existe <math>j\in J</math> et <math>k \in K</math> tels que <math>h=y_jk</math>. On a alors <math>x=x_iy_jk</math>, ce qui montre que pour tout élément <math>x</math> de <math>G</math>, il existe un couple <math>(i,j)\in I\times J</math> tel que <math>x</math> soit de la forme <math>x=x_iy_jk</math> avec <math>k\in K</math>. Un tel couple est unique, car si <math>(r,s)</math> en est un autre, il existe <math>k' \in K</math> tel que <math>x = x_{r}y_{s}k'</math>, d'où :<math>(1)\quad x_iy_jk=x_ry_sk'</math>, d'où tout d’abord (puisque <math>y_j,k,y_s,k'</math> appartiennent à <math>H</math>) <math>x_r^{-1}x_i\in H</math>, d'où, par hypothèse sur les <math>x_i</math>, <math>r=i</math> ; dès lors, (1) donne <math>y_jk=y_sk'</math> avec <math>k,k'\in K</math> : par hypothèse sur les <math>y_j</math>, <math>j=s</math>. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que la famille <math>\left(x_i y_j\right)_{(i,j)\in I\times J}</math> est un système de représentants des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>K</math>. L'indice de <math>K</math> dans <math>G</math> est donc :<math>\operatorname{Card}(I \times J) =\operatorname{Card}(I) \times\operatorname{Card}(J) = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert </math>, ce qui démontre l'énoncé. (Remarque : en prenant pour <math>K</math> dans la formule des indices le sous-groupe réduit à l'élément neutre, nous retrouvons l'égalité <math>\vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert</math>. Nous aurions donc pu ne pas démontrer cette égalité séparément et la déduire de la formule des indices.) == Sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini == Cette section peut être omise en première lecture. On y démontre un lemme qui servira à prouver le théorème de Nielsen-Schreier dans un futur chapitre sur les groupes libres. On démontre aussi un théorème (tout sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini est un groupe de type fini) qui intervient dans une des démonstrations d'un théorème de Schur<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', Springer, 4{{e}} éd., tirage de 1999, lemme 7.56, p. 198</ref>. {{Définition | contenu = On dit qu'un groupe est de type fini s'il admet une partie génératrice finie. }} Soient <math>H</math> un sous-groupe d'un groupe <math>G</math> et <math>T</math> une transversale droite de <math>H</math> dans <math>G</math>. Pour tout élément <math>g</math> de <math>G</math>, il existe un et un seul élément <math>h</math> de <math>H</math> tel que <math>g</math> soit de la forme <math>ht</math> avec <math>t</math> dans <math>T</math>. *Posons <math>p(g) = h</math>. Nous définissons ainsi une application <math>p</math> de <math>G</math> dans <math>H</math> (dépendant évidemment de <math>T</math>). Cette application <math>p</math> est une surjection. En effet, si <math>h</math> est un élément de <math>H</math>, choisissons un élément <math>t</math> de T ; alors <math>h</math> est image par <math>p</math> de l'élément <math>ht</math> de <math>G</math>. *Nous poserons aussi <math>\bar g=t</math>. De cette façon, <math>g=p(g)\bar g</math> donc <math>p(g)=g\bar g^{-1}</math>. {{Théorème | titre=Lemme de Schreier | contenu={{Wikipédia|Lemme de Schreier}} Soient G un groupe, X une partie génératrice de G, H un sous-groupe de G et T une transversale droite de H dans G comprenant l'élément 1. Pour tout élément ''t'' de T et tout élément ''x'' de X, notons <math>h_{t,x}</math> l'unique élément ''h'' de H tel que ''tx'' appartienne à ''h''T. L'ensemble des <math>h_{t,x}</math>, où ''t'' parcourt T et où ''x'' parcourt X, est une partie génératrice du groupe H. }} Démonstration<ref>Marshall Hall, Jr., ''The Theory of Groups'', AMS, {{2e}} éd., 1976, lemme 7.2.2 p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite).</ref>. Si ''p'' désigne la surjection de G sur H que nous avons considérée juste avant l'énoncé, <math>h_{t,x}= p(tx)=tx(\overline{tx})^{-1}</math>. Soit <math>h</math> un élément du sous-groupe <math>H</math>. Il s'écrit :<math>h=a_1a_2\ldots a_n,\quad\text{avec}\quad a_1,\ldots,a_n\in X\cup X^{-1}</math>. Posons, pour <math>k=0,1,\ldots,n</math> : :<math>t_k=\overline{a_1a_2\ldots a_k}</math>. En particulier, <math>t_0=t_n=1</math>, donc :<math>h=(t_0a_1t_1^{-1})(t_1a_2t_2^{-1})\ldots(t_{n-1}a_nt_n^{-1})</math>. Or <math>\overline{t_{k-1}a_k}=t_k</math>, donc chacune des <math>n</math> parenthèses de ce produit est de la forme :<math>ta(\overline{ta})^{-1},\quad\text{avec}\quad t\in T\quad\text{et}\quad a\in X\cup X^{-1}</math>. On conclut en remarquant que si <math>t\in T</math> et <math>a=s^{-1}</math>, en posant <math>t'=\overline{ta}</math>, on obtient :<math>ta(\overline{ta})^{-1}=\left(t'st^{-1}\right)^{-1}=\left(t's(\overline{t's})^{-1}\right)^{-1}</math>. {{Théorème | titre=Corollaire | contenu= Soient <math>G</math> un groupe, <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>. Si <math>X</math> est une partie génératrice de <math>G</math>, alors <math>H</math> admet une partie génératrice de cardinal <math>\leq [G:H] \times \operatorname{Card}(X)</math>. }} Démonstration. Choisissons une transversale droite <math>T</math> de <math>H</math> dans <math>G</math>. Si nous remplaçons dans <math>T</math> l'unique élément de <math>H \cap T</math> par 1, nous obtenons encore une transversale droite de H dans G. Nous pouvons donc supposer que T comprend l'élément 1. D'après le lemme qui précède, l'ensemble A des <math>h_{t,x}</math>, où ''t'' parcourt T et où ''x'' parcourt X, est une partie génératrice du groupe H. L'application <math>T \times X \to A : (t, x) \mapsto h_{t,x}</math> est une surjection de <math>T \times X </math> sur A, donc :<math>\operatorname{Card} (A) \leq \operatorname{Card} (T) \operatorname{Card} (X).</math> Comme le cardinal de T est égal à l'indice de H dans G, l'énoncé en résulte. En particulier : {{Théorème | contenu= Soit G un groupe de type fini. Tout sous-groupe d'indice fini de G est de type fini. Plus précisément, si G admet une partie génératrice de cardinal fini ''m'', si H est un sous-groupe d'indice fini ''j'' de G, alors H admet une partie génératrice de cardinal <math>\leq jm.</math> }} Remarques. 1° La théorie des groupes libres nous permettra de démontrer l'énoncé plus fort que voici : si G est un groupe admettant une partie génératrice de cardinal fini ''m'', si H est un sous-groupe d'indice fini ''j'' de G, alors H admet une partie génératrice de cardinal <math>\leq 1 + j(m-1)</math>. Voir [[Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier|les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier]].<br /> 2° Un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini. On en verra un exemple dans [[Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier|les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier]]. == Formule du produit == {{Théorème | titre = Formule du produit<ref>J. J. Rotman, ''''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 30.</ref> | contenu = Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On a :<math>\vert HK \vert \cdot \vert H \cap K \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert </math> (où la partie HK de G n’est pas forcément un sous-groupe de G). }} Première démonstration. On prouve dans les exercices que :<math>\ (1) \qquad \vert H : (H \cap K) \vert = \operatorname{Card}(E)</math>, où E désigne l’ensemble des classes à gauche modulo K contenues dans HK. HK est réunion disjointe de ces classes, donc <math> \vert K \vert\operatorname{Card}(E) =\operatorname{Card}(HK)</math>. Dès lors, en multipliant les deux membres de (1) par <math>\vert K \vert \cdot \vert H \cap K \vert</math>, on obtient l'énoncé. Seconde démonstration. Soit ''f'' l’application <math>(x, y) \mapsto xy </math> de H × K dans HK. Prouvons que pour tout élément z de HK, il y a exactement <math> \vert H \cap K \vert </math> éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. Puisque ''z'' appartient à HK, il existe a dans H et b dans K tels que z = ab. Prouvons que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d{{exp|-1}}b), où d parcourt <math>H \cap K </math>. Si (x, y) est tel que f(x, y) = z, alors xy = ab, d'où a{{exp|-1}}x = by{{exp|-1}}. Si nous désignons par ''d'' la valeur commune de a{{exp|-1}}x et de by{{exp|-1}}, il est clair que ''d'' appartient à <math>H \cap K </math> et que x = ad, y = d{{exp|-1}}b. Nous avons donc prouvé que tout élément (x, y) de H × K tel que f(x, y) = z est un élément de la forme (ad, d{{exp|-1}}b), où d appartient <math>H \cap K </math>. Réciproquement, si d appartient à <math>H \cap K </math>, il est clair que (a, d) est un élément de H × K et que f(ad, d{{exp|-1}}b) = ab = z. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d{{exp|-1}}b), où d parcourt <math>H \cap K </math>. Il est clair que si d et d' sont deux éléments distincts de <math>H \cap K </math>, les deux éléments (ad, d{{exp|-1}}b) et (ad', d'{{exp|-1}}b) de H × K sont distincts, donc les éléments de H × K de la forme (ad, d{{exp|-1}}b), où d parcourt <math>H \cap K </math>, sont en quantité <math> \vert H \cap K \vert </math>. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que pour tout élément z de HK, il y a exactement <math> \vert H \cap K \vert </math> éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. La formule du produit résulte donc du principe des bergers. Troisième démonstration. Soit T une transversale à gauche de H ∩ K dans H. Comme |H| = |T|.|H ∩ K|, il suffit de prouver que (i) HK est égal à TK, et que (ii) TK est équipotent au produit cartésien T × K.<br /> (i) Nous avons HK = (T (H ∩ K)) K = T ((H ∩ K) K) = TK<br /> (ii) Pour prouver que TK est équipotent au produit cartésien T × K, il suffit de prouver que la surjection <math>(t, k) \mapsto tk</math> de T × K sur TK est injective. Soient donc (t,k) et (t',k') deux éléments de T × K tels que tk = t'k'; il suffit de prouver que t = t' (ce qui entraîne évidemment k = k'). Nous avons t'^-1 t = k' k^-1. Puisque T est contenue dans H, le membre gauche est contenu dans H. Le membre droit est contenu dans K, donc le membre gauche t'^-1 t est contenu dans (H ∩ K). Puisque T est une transversale gauche de H ∩ K dans H, on a donc t' = t, comme annoncé. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes, premières notions/]] | suivant = [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] }} fio6kkqlepb37340qn4r5ohs5srd71v 2 42534 987259 969880 2026-10-11T13:43:02Z Ambre Troizat 8860 /* Puis-je vous aider ? */ 987259 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. === Le bon usage des liens === La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. 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Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. 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Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} jos1hggpm5vgmrpbmc70ptuz5q2z2vq 987261 987259 2026-10-11T13:56:09Z Ambre Troizat 8860 /* Le bon usage des liens */ modification du niveau de titre 987261 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} cp4yl30hhyl9lkxwxe3ufhvpdcbbuj7 987262 987261 2026-10-11T13:57:07Z Ambre Troizat 8860 /* Puis-je vous aider ? */ Suppression d'interlignes 987262 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} lfxp8zlghfpkapgsq2mwp8d7o2dtw87 987263 987262 2026-10-11T13:57:35Z Ambre Troizat 8860 /* Puis-je vous aider ? */ Ajouter un interligne 987263 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} 6nj1re9smkz4g4hly7nsyz636fljx48 987264 987263 2026-10-11T13:58:01Z Ambre Troizat 8860 /* Puis-je vous aider ? */ Ajouter un autre interligne 987264 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} kfnhrnahppqqarrtymh81eb9vbfml8p 987265 987264 2026-10-11T13:58:34Z Ambre Troizat 8860 /* Puis-je vous aider ? */ Ajouter un autre interligne 987265 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie : "Vous êtes sur la page d'accueuil du projet Wikimedia qui se nomme "Wikipédia" en langue française. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} m566ln0x2o3e0ebnqowgl6e75cjedoa 987266 987265 2026-10-11T14:08:26Z Ambre Troizat 8860 /* Le bon usage des liens */ Wikipédia en italiques et gras 987266 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} bzlhvto47xoc67keqqy12azpwpmd200 987277 987266 2026-10-11T21:18:47Z Ambre Troizat 8860 /* Le bon usage des liens */ Ajout d'une ponctuation 987277 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Un lien interne renvoie vers une page de Wikiversité. Exemple : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques]] Avec un libellé différent : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki> Affichage : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} rbbevdfgfxwts4wiwn0o2e1qvxqklff 987279 987277 2026-10-11T21:32:41Z Ambre Troizat 8860 /* 1. Lien interne à Wikiversité */ Rédaction de la section 987279 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler. Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques.<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les pages de recherche appartiennent à l’espace de noms ''Recherche:''. Exemple : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki> Affichage : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] Avec un libellé : <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions]]</nowiki> == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} hc78cuua779kfa4bg08rr9gy0t7d3i4 987281 987279 2026-10-11T22:05:32Z Ambre Troizat 8860 /* 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité */ Rédaction de la section 987281 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler. Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques.<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''"Recherche:"''. Exemple : <nowiki>[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki><br> L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]<br> Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :<br> <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]</nowiki><br> Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : "''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine "Recherche", la page intitulée "Les abolitions des traites et des esclavages". Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''. == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} 2knfgdjxcdp3tiu02na8teceky8z2p3 987284 987281 2026-10-11T22:11:05Z Ambre Troizat 8860 /* 1. Lien interne à Wikiversité */ Rédaction de la section 987284 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.'' ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.'' Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques.<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''"Recherche:"''. Exemple : <nowiki>[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki><br> L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]<br> Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :<br> <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]</nowiki><br> Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : "''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine "Recherche", la page intitulée "Les abolitions des traites et des esclavages". Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''. == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} tqhkabxayljblm9kdilnpfthfgewen6 987285 987284 2026-10-11T22:12:40Z Ambre Troizat 8860 /* 1. Lien interne à Wikiversité */ Rédaction de la section 987285 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. Quelquefois, il faut être attentif. Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre. C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.'' ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.'' Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques".<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''"Recherche:"''. Exemple : <nowiki>[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki><br> L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]<br> Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :<br> <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]</nowiki><br> Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : "''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine "Recherche", la page intitulée "Les abolitions des traites et des esclavages". Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''. == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} gtj82kf3zn0g0un8qhlujhnlaqz3hjc 987286 987285 2026-10-11T22:16:18Z Ambre Troizat 8860 /* Objectif de la leçon */ Rédaction de la section 987286 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. ''Quelquefois, il faut être attentif''. ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''. ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.'' ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.'' Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques".<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''"Recherche:"''. Exemple : <nowiki>[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki><br> L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]<br> Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :<br> <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]</nowiki><br> Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : "''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine "Recherche", la page intitulée "Les abolitions des traites et des esclavages". Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''. == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki> Affichage : [[d|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]] == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} b4yc4iny6s8m7b303w6s0nadul2o318 987287 987286 2026-10-11T22:32:07Z Ambre Troizat 8860 /* 5. Lien vers Wikidata */ 987287 wikitext text/x-wiki == Puis-je vous aider ? == [[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.<br />[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]<br />Écrire !]] <br /><br /> {{Utilisateur Aide}} <br /><br /><br /><br /><br /> == Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes == === Objectif de la leçon === Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia. Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes. L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable. ==== Le bon usage des liens ==== La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens. Les liens mettent en réseau les projets. Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia. La formule la plus élégante est : <nowiki>[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]</nowiki>.<br> Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''"Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''. Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé. Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia. Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article "Code noir" sur Wikipédia. Il est plus élégant d'écrire : <nowiki>[[w:Code noir|Code noir]]</nowiki>. Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]]. Warmings : Ici, <nowiki><nowiki>Insérer ici un texte non formaté</nowiki></nowiki> permet de voir la syntaxe du lien. ''Quelquefois, il faut être attentif''. ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''. ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article "Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''. == 1. Lien interne à Wikiversité == Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.<br> ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.'' ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.'' Exemple : <br> Vous souhaiter consulter le projet "Bases de données bibliographiques".<br> Vous utiliserez la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki><br> Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]] Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]</nowiki><br> Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.<br> Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]] == 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité == Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''"Recherche:"''. Exemple : <nowiki>[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]</nowiki><br> L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]<br> Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :<br> <nowiki>[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]</nowiki><br> Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : "''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine "Recherche", la page intitulée "Les abolitions des traites et des esclavages". Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''. == 3. Lien vers Wikisource == Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki : <nowiki>[[s: de la page]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire]]</nowiki> Avec un libellé : <nowiki>[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]</nowiki> Pour une discussion Wikisource : <nowiki>[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]</nowiki> == 4. Lien vers Wikimedia Commons == Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]</nowiki> Pour lier une catégorie Commons : <nowiki>[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]</nowiki> Attention : sur Wikiversité, écrire simplement <nowiki>[[Fichier:...]]</nowiki> peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki <nowiki>[[c:File:...]]</nowiki> est souvent plus clair. == 5. Lien vers Wikidata == Pour lier un élément Wikidata, on utilise : <nowiki>[[d...]]</nowiki> L'exemple : <nowiki>[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]</nowiki><br> S'affichera de la manière suivante : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].<br> Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]. N. B. : ''On ne "corrige" pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''. == 6. Lien vers Wikipédia == Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Exemple : <nowiki>[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]</nowiki> == 7. Lien externe simple == Un lien externe utilise une seule paire de crochets. Exemple : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois] Il ne faut pas écrire : <nowiki>[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]</nowiki> Cette forme mélange lien interne et lien externe. La bonne formule est : <nowiki>[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]</nowiki> == 8. Erreurs fréquentes == === Mélanger Markdown et wikicode === À éviter : <nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques</nowiki> Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode. Sur Wikiversité, écrire plutôt : <nowiki>[[Bases de données bibliographiques]]</nowiki> ou, pour un lien externe : <nowiki>[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]</nowiki> === Échapper inutilement les deux-points === À éviter : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> À écrire : <nowiki>[[s:Sujet]]</nowiki> === Transformer un nom de fichier === À éviter : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons : <nowiki>[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> ou, pour pointer explicitement vers Commons : <nowiki>[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]</nowiki> == 9. Règle pratique == Avant de créer un lien, poser trois questions : La page est-elle sur Wikiversité ? La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ? La page est-elle extérieure à Wikimedia ? Réponse : Wikiversité : <nowiki>[[Nom de la page]]</nowiki> Wikisource : <nowiki>[[s:de la page]]</nowiki> Commons : <nowiki>[[c:File du fichier]]</nowiki> ou <nowiki>[[c:Category de la catégorie]]</nowiki> Wikidata : <nowiki>[[d...]]</nowiki> Wikipédia : <nowiki>[[w de l’article]]</nowiki> Site extérieur : <nowiki>[URL libellé]</nowiki> == 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique == Exemple de section corrigée : <nowiki> Liens de départ : Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']] Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]] V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]] V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]] V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]] V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]] V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]] Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]] == Conclusion == Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir. Bien écrire les liens permet de savoir : * Où se trouve la source * Quel projet est concerné * Quel type d’objet est mobilisé, et * Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire. == Galerie == <center> <gallery> File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496 Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562) File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80<ref>Cf. Abbé Grégoire.</ref> File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]] File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670 File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630 File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635 File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet </gallery><gallery> File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux. File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806) </gallery><gallery> File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910) File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I] File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha </gallery><gallery> Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000 Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&lpg=PA333&ots=f3SqpCx9iB&dq=Philibert%20de%20Miolans&hl=fr&pg=PA333#v=onepage&q=Philibert%20de%20Miolans&f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390 </gallery> </center> [[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]] [[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace & Blaise Diagne]] [[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]] [[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]] [[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude<ref>L'article "Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique" a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression "Code noir" et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés "Code noir" du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, "Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.</ref>]] == Qui suis-je ? == Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres & les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George & Gratien Candace, J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 & {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel<ref>[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]<br />[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]</ref>. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel & de la Révolution française. Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]<ref>[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]</ref> est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''<ref>[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]</ref>. {{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net<ref>[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]</ref>}} Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages & servitudes analysées sous l'angle du droit naturel<ref>Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]</ref>. [[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances<ref>[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].</ref>]] Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] & [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]]. Pour ce faire je travaille ''sur-&-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons & Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte & collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006. J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources & de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent "en deux clics" aux documents & ouvrages qui ont servi à l'argumentation. Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction. Me contater : Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion : '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)''' == Pages suivantes == [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] & [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]] [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]] [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']]. * <[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]> * <[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]> * [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]] === Mois de la contribution francophone 2023, Bourges === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]] Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] & le Groupe Wikimédien local de Bourges. == Echanges avec les contributeurs == * 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection <Center> <gallery> File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon & Joseph en France File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753. </gallery> <gallery> File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg File:The Chevalier de St-George.jpg File:Monsieur de St-George.jpg </gallery> </Center> == Notes & Références == [[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]] {{Références}} 4r0gwhyaj018hq8zebt7m689tqmqb28 0 52642 987298 585414 2026-10-12T11:27:50Z Eric.LEWIN 12972 "Terre", et non "terre", pas du tout la même chose !!! 987298 wikitext text/x-wiki '''Sur Wikipédia :''' * [[w:Classes préparatoires biologie, chimie, physique et sciences de la Terre]] ; '''Sur internet :''' * [http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_3_ESR/44/3/programme-BCPST_252443.pdf lien vers le programme officiel] {{pdf}} ; * [http://cache.media.enseignementsup-recherche.gouv.fr/file/special_3_ESR/47/9/programme-scientifique-LVE_252479.pdf lien vers le programme officiel de langues vivantes étrangères] {{pdf}}. {{AutoCat}} oxw7ll70w77c0rcys2hh0x5pe0cxqim 2 60773 987256 981423 2026-10-11T12:20:02Z Solstag 13856 Analyses textuelles (GP DIGIS, 2025-2026) 987256 wikitext text/x-wiki Ni! Bonjour 😜 Je m'appelle Ale Abdo, j'enseigne et je collabore dans des projets de recherche, actuellement en lien avec le [http://umr-lisis.fr/ Laboratoire Interdisciplinaire Sciences Innovations Sociétés (LISIS, France)] et le [https://cindalab.ibict.br/ Laboratoire de Science Ouverte et Innovation Citoyenne (CindaLab, Brésil)]. Je participe également, en tant que membre, aux activités du [https://garoa.net.br/ Garoa Hacker Clube (Brésil)] et de l'[https://www.amapdelourcq.org/ AMAP de l'Ourcq (France)] Je suis également actif sur la [[:en:User:Solstag|Wikiversity anglophone]], où je documente une autre partie de mes activités, et la [[:pt:Utilizador:Solstag|Wikiversidade lusophone]], dont je suis l'un des administrateurs. [https://orcid.org/0000-0002-4849-4631 Mon profil ORCiD]. Pour me contacter, vous pouvez laisser un message dans [[Discussion utilisateur:Solstag|ma page de discussion]] ou [[Spécial:Envoyer un courriel/Solstag|m'envoyer un mail]]. == Cours == [[Analyses textuelles (GP DIGIS, 2025-2026)]] [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)]] [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)]] [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2023-2024)]] [[Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)]] [[Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2021)]] [[Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)]] [[D2SN/Séminaire Mémoire|Séminaire Mémoire (M2, 2019)]] [[Modélisation des Réseaux (M1, 2018)]] == Documents == ''Davantage d'activités se trouvent documentés sur les Wikiversités [[:en:User:Solstag|anglophone]] et [[:pt:Utilizador:Solstag|lusophone]].'' Organisation du projet [[Inventaire du patrimoine agroécologique de la Basse Casamance]] Organisation du projet [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]] Organisation du projet [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative|Un agenda pour la recherche participative]] Organisation de la [[Recherche:Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche|journée d'études Intermédiation et dispositifs de co-recherche]] Organisation du réseau [[Recherche:OpenLabs|OpenLabs]] Proposition [[Utilisateur:Solstag/Club déstabilisation|Club déstabilisation]] Rapport de [[Utilisateur:Solstag/Rapport PD LabEx SITES 2019-2021|postdoctorat LabEx SITES 2019-2021]] Notes pour un projet sur les [[Utilisateur:Solstag/Tiers lieux de recherche|Tiers lieux de recherche]] [[Recherche:Les projets Wikimédia : un environnement de recherche pour amateurs & scientifiques#Solstag - Croisements Wikiversité, université et autres: expériences en France et au Brésil|Ma présentation pour la Wikiconvention Francophone 2019]] == Etc == Notes à propos de [[Utilisateur:Solstag/Wikiversité|Wikiversité]] Modèles : [[Modèle:Créer accéder activité]], [[Modèle:Créer accéder cahier]] [[en:User:Solstag]] [[pt:Utilizador:Solstag]] jshnctilq0gegmwua1bub8xu85u7lrq 108 73668 987299 899012 2026-10-12T11:38:44Z Eric.LEWIN 12972 (essai) arbre des catégories (commenté) 987299 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ La '''planétologie''' et l’'''exogéologie''' s'intéressent aux '''objets du Système solaire''', au-delà de ce qui est accessible au géologue proprement dit, mais d'ores et déjà en grande partie accessible à l'exploration spatiale robotisée. Doyenne sur ces interrogations, la planétologie utilise la lumière, au sens large, pour observer et comprendre les objets, à travers ou, depuis un demi-siècle, depuis l'espace inter-planétaire. L'exogéologie, essentiellement née avec le XXIè siècle, utilise, pour l'instant, des moyens robotisés, pour s'approcher de ces objets, les étudier visuellement, mais aussi analytiquement par échantillonnage et mesures, soit sur place, soit par retour d'échantillons sur Terre. Il n'existe réellement pas de délimitation entre ces deux disciplines, mais de plus en plus un continuum de méthodes, et des scientifiques formé·e·s selon les deux voies historiques. Toutefois, la diversité des objets que nous découvrons encore à chaque regard rapproché, et des contextes où ils évoluent, et l'actuelle ''éticité'', indigence, de nos compréhensions les concernant, ce qui nous les rend complexes à étudier, nous réduit pour l’instant à ne savoir utiliser que les deux types familiers d'approches méthodologiques, que sont celles communes à l'observation astronomique, ici focalisée sur le Système solaire, c'est la planétologie, et celles communes aux études des terrains de notre planète, c'est l'exogéologie<ref>… et on oubliera sur le double paradoxe de ce mot, avec l’extension du "géo" au Système solaire, et, faute d'un usage du terme "exogéosciences", l'extension des méthodologies, celles essentiellement observationnelles de la géologie dans son sens restreint historique et contemporain, en y intégrant les méthodes géochimiques et celles géophysiques, bref les sciences de la Terre, les géosciences.</ref>. Notons que la '''météoritologie''', qui par ses méthodes emprunte complètement aux géosciences, et par ses questionnements, dépasse la seule planétologie du Système solaire pour aborder celle des formations d'étoiles, disques planétaires et autres systèmes exoplanétaires, voire les questions très astrophysiques des nucléosynthèses, a vocation à intégrer totalement ce département, notamment parce qu'elle préfigure, et ce depuis longtemps, les retours d'échantillons extraterrestres. Il est donc évident que ce département est tout autant vocation à être rattaché aux facultés [[Faculté:Géologie|de géologie]] que [[Faculté:Astronomie|d’astronomie]], voire très probablement d'ici une ou deux décennies, à devenir lui-même faculté, divers sous-départements démontrant déjà leurs identités (formation et évolution du Système solaire, planètes telluriques, géantes gazeuses, astéroïdes et comètes, anneaux planétaires, planétoïdes et satellites de glaces, interactions Soleil-planètes, voire systèmes exoplanétaires, disques planétaires, …), au sein d'une wikiversité des sciences de la Terre, des Planètes, de l'Univers. <!-- === Arbre des catégories des pages sous celle-ci (essai) === {{ #categorytree:Cours|mode=pages}} Non, ça ne marche pas ! comment le faire démarrer juste à partir d'ici ? --> === Notes === {{Références}} {{AutoCat}} ax7zz7k5nid3y5kqw0qwxmviwlx3zmf 0 74574 987257 987255 2026-10-11T12:35:11Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987257 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 9wymo3dosc4rfrqrcgwcpl4t74hujjt 987258 987257 2026-10-11T13:15:10Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987258 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} pq400tvqiyrzrso200et8yhj249fyaw 987267 987258 2026-10-11T15:20:48Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987267 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} qx4ptsyr8rrnct22e2qiau2gbbm5e3e 987268 987267 2026-10-11T15:25:35Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987268 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} ctze1sf0z4c8pv9eashzajgudjjak00 987278 987268 2026-10-11T21:31:02Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987278 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} hs6s1dabr9h0vy5seu9ll4pxfwswq58 987280 987278 2026-10-11T21:34:57Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987280 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} gyhy4suqzbhws6p9gqk59doy5fq0ou5 987282 987280 2026-10-11T22:07:10Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987282 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} suc380dikivxuqho7jvi1rvz7muh2m8 987283 987282 2026-10-11T22:08:13Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987283 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} t961fgopgv4d6tw2eocdf05xiwwf4wv 987289 987283 2026-10-12T02:51:25Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987289 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 8s6hm8b5pwqvdlwb5r794i1jn1qbyu0 987290 987289 2026-10-12T03:00:18Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987290 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} rog2bte3ddwakm6z500pokdwvw55tiq 987293 987290 2026-10-12T09:13:56Z Phl7605 31541 /* Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) */ 987293 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} sfcmaqc7x3n379ql2fo35zyqr9hhzpo 987294 987293 2026-10-12T09:33:22Z Phl7605 31541 /* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */ 987294 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 6baar8c2wn9joxi09so6fwr8gokwgg0 987296 987294 2026-10-12T09:39:11Z Phl7605 31541 /* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */ 987296 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} qp6xfx6m7qvaq1rwqkh9i61c1lrliy9 987297 987296 2026-10-12T09:40:37Z Phl7605 31541 /* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */ 987297 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 7spqte8ha0ic205hxi68xnes05yzot3 104 80278 987269 887058 2026-10-11T17:32:12Z Solstag 13856 /* Pour en savoir plus */ rétablissement de références perdues, via web archive 987269 wikitext text/x-wiki ''Cette journée s’inscrit dans un travail transdisciplinaire débuté depuis plusieurs années afin de mieux comprendre l’institutionnalisation de partenariats entre organisations du tiers secteur et établissements d’enseignement supérieur et de recherche dans des dispositifs de co-recherche. Elle a pour objectifs de répondre aux questions suivantes :'' * ''Nouvelles fonctions et nouveaux métiers : légitimité et reconnaissance'' * ''Quel rôle pour le tiers secteur de la recherche ?'' ''L'enjeu est de discuter les cadres d'analyse de ces co-recherches et d'équiper les acteurs pour la fabrique de lien.'' ----'''Date :''' Le 4 octobre 2022 '''Lieu :''' Amphithéâtre d'INRAE – 147 rue de l’Université, Paris '''Organisation (αβ) :''' Marc Barbier (IFRIS), Elise Demeulenaere (Centre Alexandre-Koyré), Alexandre Hannud Abdo (LISIS), Evelyne Lhoste (LISIS), Allison Loconto (LISIS) '''Synthèse de la journée :''' [[Recherche:Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche/Synthèse de la journée|Synthèse de la journée]] = Contexte = L’institutionnalisation des partenariats de co-recherche résulte d’une double dynamique initiée par des acteurs émergents (groupes concernés, mouvements du libre, open source,...) et de l’économie sociale et solidaire (éducation populaire, innovation sociale....), puis relayée par les établissements publics d’enseignement supérieur et de recherche autour de concepts normatifs tels que les « sciences en société », open science, recherches participatives..., sans oublier l’utilisation des savoirs de contributeurs bénévoles (bird watchers, collecteurs de tiques...). Cette institutionnalisation se traduit dans des politiques publiques. Pour refléter cette double dynamique, nous nommons co-recherches, toutes ces activités qui impliquent des acteurs du tiers secteur<ref group="Notes">La notion de « Tiers Secteur de la Recherche », désigne le secteur non marchand (associations, syndicats, collectivités locales), le secteur marchand à but non lucratif (économie sociale et solidaire, groupements professionnels), les organisations à but lucratif de petite taille (auto-entrepreneurs, groupements agricoles ou artisanaux) (sources Akrich et col. 2017 et recommandation du conseil scientifique du CNRS pour une stratégie de recherches participatives. 15 octobre 2021).</ref> et des chercheurs académiques. Ces acteurs se mettent ensemble pour résoudre un problème mal ou non pris en charge par le marché ou les pouvoirs publics (Barré, 2020). Il s’agit alors de produire et utiliser des connaissances dans des situations incertaines et sujettes à controverses (Loconto, 2021). Ces connaissances sont variées mais elles ont toutes en commun de produire des changements : connaissances scientifiques, apprentissages organisationnels, innovations élargies dans leurs processus et leurs objectifs, normes et règles, politiques publiques, marchés, pratiques sociétales, et bien sûr l'encapacitation des acteurs (éducation populaire, université, éducation nationale).   Cette journée a été précédée de plusieurs autres journées de travail. D'une part, une série de séminaires organisés par le groupe de travail « intermédiations en recherche » de l’Alliss entre 2016 et 2018 ont fait l'objet d'un numéro thématique des Cahiers de l’action (2020). Ils ont montré que ces intermédiations jouaient un rôle crucial dans les processus de co-recherche : mise en lien et animation d'un collectif autour d'un problème commun ; traduction, capitalisation et transfert des résultats ; entrepreneuriat institutionnel... Ces activités diverses sont portées par des personnes différentes travaillant en étroite collaboration. Ces personnes partagent des valeurs sur la façon dont se font les liens entre science et société et une éthique de ce que doivent être les rapports au sein du collectif (Barré, 2020). D'autre part, des journées d'étude organisées par l'IFRIS, le LISIS et le Centre Koyré, les 29 et 30 septembre 2020 se sont penchées sur les besoins et limites actuels de l’institutionnalisation des recherches participatives : déficit d’acculturation réciproque provoquant des incompréhensions, voire de la défiance, et impactant la qualité des données recueillies et l’efficacité de la résolution des problèmes traités ; besoin d’outiller les acteurs et de structurer le champ, de reconnaitre la légitimité du tiers secteur et d’inciter les chercheurs à s’impliquer. Ces besoins et limites s’inscrivent dans un contexte de stabilisation d’un champ d’action stratégique des recherches participatives qu’il convient d’interroger (Lhoste, 2022). [[Utilisateur:Solstag/Journée d'études Intermédiation et dispositifs de co-recherche#sdfootnote1anc|1]] La notion de « Tiers Secteur de la Recherche », désigne le secteur non marchand (associations, syndicats, collectivités locales), le secteur marchand à but non lucratif (économie sociale et solidaire, groupements professionnels), les organisations à but lucratif de petite taille (auto-entrepreneurs, groupements agricoles ou artisanaux) (sources Akrich et col. 2017 et recommandation du conseil scientifique du CNRS pour une stratégie de recherches participatives. 15 octobre 2021). = Programme = === '''9:00 Accueil''' === === '''9:30 Ouverture''' === Jean-Baptiste Merilhou-Goudard (INRAE - DISPSO) === '''9:45 Introduction :''' Participation – policies – foresight === Matthias Weber (Center for Innovation Systems and Policy, Vienna, Austria) === '''10:30 Atelier 1 :''' L’institutionnalisation de démarches de co-recherche dans les Établissements publics scientifiques et techniques (EPST) === Animation et organisation : Elise Demeulenaere (CNRS) et Marc Barbier (INRAE, IFRIS) ''Fil rouge : nouveaux métiers, nouvelles fonctions et nouveaux statuts dans les dynamiques de co-recherche, dans les domaines de l'alimentation, de la biodiversité et de la recherche biomédicale'' ''Co-construction des connaissances dans et pour les circuits alimentaires courts et de proximité / Les nouveaux métiers des sciences participatives dans le domaine de la biodiversité / La façon dont les publics concernés se sont invités dans la recherche biomédicale & handicap, dont des espaces se sont institutionnalisés au sein de l'INSERM ; et ce que l'institutionnalisation produit'' Intervenants : * Yuna Chiffoleau (INRAE) * Romain Julliard (Muséum national d'Histoire naturelle, directeur du [https://mosaic.mnhn.fr/ Programme Mosaic]), Alexandra Villarroel (Coordinatrice Particip-Arc et Vigie Muséum) * Janine Barbot et Myriam Winance (INSERM, CERMES3) === '''12:00 Atelier 2''' : L’affirmation du tiers secteur dans les co-recherches === Animation et organisation : Evelyne Lhoste et Ale Abdo (LISIS) Fil rouge : de l’auto-organisation à l’institutionnalisation du TSR : enjeux et limites Intervenants : * Agro-alimentaire : Juliette Peres – Responsable développement - [https://fablim.org/fablim/ FAB'LIM], Le Labo des territoires alimentaires méditerranéens. * Socio-culturel : Jules Desgouttes – co-coordinateur de Artfactories/autresparts, centre de ressources et plateforme de recherche et d’action pour la transformation des rapports art/territoires/populations. * Communs et transitions : Geneviève Fontaine - [http://scic-tetris.org/ SCIC TETRIS] * Energie : Claire Manfredi - [https://www.enercoop.fr/nos-cooperatives/languedoc-roussillon Enercoop Languedoc-Roussillon] === 13:30 Déjeuner === === '''14:45 Atelier 3''' : Les agents intermédiaires dans les transitions environnementales et sociales === Animation:Hajar El Karmouni - I[https://www.u-pec.fr/fr/recherche/laboratoires/institut-de-recherche-en-gestion-irg-ea-2354 nstitut de Recherche en Gestion], Univ. Gustave Eiffel Fil rouge : conseiller pour les transitions : freins et succès Intervenants : * [http://collectif-cc.com/?team=isabelle-richard Isabelle Richard] – Bureau de recherche en psychologie environnementale * Ewa Zlotek-Zlotkiewicz ­– [https://www.linkedin.com/company/klask-innovation-sociale/?originalSubdomain=fr KLASK] « docteurs au service de l’innovation sociale » * Christophe Besson-Léaud – [https://sens-eco.org/ Alliance sens et économie], communauté des (co)producteurs d’une économie responsable et de territoires résilients === '''16:15''' Grand témoin === Rachid Cherfaoui - [https://institutgodin.com/ Institut Godin] === '''17:00 Conclusions et clôture de la journée''' === Allison Loconto (INRAE) - directrice adjointe du LISIS. == Pour en savoir plus == [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01607413 Prendre au sérieux la société de la connaissance : livre blanc] . Akrich M. et al. (2017) Les dispositifs de co-recherche et intermédiations : [https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-l-action-2020-1.htm Construire la recherche avec la société civile : les enjeux de la démarche d’intermédiation], Cahiers de l’action 2020/1 (N° 55) Les recherches participatives et co-recherches : [https://www.openscience.fr/Trajectoire-d-un-champ-d-action-strategique-les-recherches-participatives-sont Trajectoire d’un champ d’action stratégique : les recherches participatives sont-elles solubles dans la science ?] Lhoste (2022, Technologie et innovation, volume 7) [https://hal.inrae.fr/tel-03670962 De la standardisation à l’intermédiation : une sociologie des interactions]. ''Vade me cum'': L’Intermédiation de la consommation et production durables (Vol. 2): Loconto (2021) [https://web.archive.org/web/20230331100444/https://autresparts.org/archives/8 Qu’est-ce qu’un lieu intermédiaire ?], Artfactories/autresparts, atelier de réflexion#20, Amiens, 2016, rapporté par Sebastien Gazeau. [https://web.archive.org/web/20230331101856/https://autresparts.org/archives/932 Memento : une archive vivante des pratiques d’occupation temporaire d’espace. Mémo#01 - Mise en récit], Thomas Arnera, 2020. == Notes == <references group="Notes" /> jjyqkz0u07t9e2fqam85fnjp8ozd8m6 4 87330 987288 987198 2026-10-11T22:43:58Z Ambre Troizat 8860 /* Discussions */ réponse ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|DP]]) 987288 wikitext text/x-wiki Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.''' Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous. == Les MOOCs == == Antécédents == [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] ===Discussions=== Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans. Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC) :Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez "MOOC" par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par "France Université numérique", TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des "référent·e"s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ? :<small><small>(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux ("Exoplanètes" et "Des rivières et des Hommes" sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, "WikiMars", intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement "toutes licences ensemble" à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)</small></small> [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC) ::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité. ::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC) :::Okay, je prends donc le sigle "MOOC" dans un sens minimal, "cours en ligne" (et, bien sûr, ouvert), "OOC" (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier. :::&nbsp;<small>(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé "ook" ("online open knedledge"…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).</small><br/> :::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC). ::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC) : Bonsoir à tous,<br> Je peux agalement modifier mon vote ?<br> J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.<br> BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === * Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme "à l'ébauche de plan" ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC). *:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC) *::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu. *::<nowiki>{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}</nowiki> *::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}} *::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC) == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == * Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC). *:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC) == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === 2fd1k78b8safeff0ovr3ubtzqm2czh8 2 87385 987271 987149 2026-10-11T21:15:48Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Contrat de travail en France]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Contrat de travail en France]] 987149 wikitext text/x-wiki = Le contrat de travail en France = Le '''contrat de travail''' est la convention par laquelle une personne, le [[salarié]], s'engage à fournir une prestation de travail pour le compte et sous l'autorité d'une autre personne, l'[[employeur]], en contrepartie d'une [[Salaire|rémunération]]. En [[Droit du travail en France|droit français]], le [[Code du travail (France)|Code du travail]] ne donne pas de définition générale du contrat de travail. Ses éléments constitutifs ont principalement été dégagés par la [[Jurisprudence en droit français|jurisprudence]]. Le contrat de travail se distingue notamment du contrat d'entreprise, du mandat ou de l'exercice d'une activité indépendante par l'existence d'un '''lien de subordination juridique'''. L'article L. 1221-1 du Code du travail dispose que le contrat de travail est soumis aux règles du droit commun et qu'il peut être établi selon les formes que les parties décident d'adopter<ref>Code du travail, art. L. 1221-1.</ref>. Il est donc soumis à la fois aux règles générales du [[Droit des contrats en France|droit des contrats]] et aux règles particulières, souvent impératives, du droit du travail. == Les éléments constitutifs du contrat de travail == L'existence d'un contrat de travail suppose traditionnellement la réunion de trois éléments : * une '''prestation de travail''' ; * une '''rémunération''' ; * un '''lien de subordination juridique'''. Ces trois éléments sont appréciés à partir des conditions réelles dans lesquelles l'activité est exercée. === La prestation de travail === La prestation de travail correspond à l'activité que le salarié s'engage à accomplir pour le compte de l'employeur. Elle peut être de nature très diverse : manuelle, intellectuelle, artistique, commerciale, sportive ou encore administrative. La nature de l'activité exercée ne suffit donc pas, à elle seule, à déterminer l'existence ou l'absence d'un contrat de travail. Le salarié exécute en principe personnellement la prestation convenue. Le contrat de travail présente ainsi un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à son égard. === La rémunération === La prestation de travail est accomplie en contrepartie d'une rémunération. La rémunération comprend principalement le [[salaire]], mais peut également comporter des primes, commissions, gratifications ou avantages en nature. L'existence d'une rémunération permet notamment de distinguer le contrat de travail d'une activité purement bénévole. === Le lien de subordination === Le '''lien de subordination juridique''' constitue le critère essentiel permettant de distinguer le salarié du travailleur indépendant. Dans un arrêt de principe du 13 novembre 1996, dit arrêt ''Société Générale'', la [[Cour de cassation (France)|Cour de cassation]] a défini le lien de subordination par l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur qui dispose du pouvoir : * de donner des ordres et des directives ; * d'en contrôler l'exécution ; * de sanctionner les manquements du travailleur. Le travail au sein d'un service organisé peut constituer un indice du lien de subordination lorsque l'employeur détermine unilatéralement les conditions d'exécution du travail<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Le juge ne s'arrête pas à la qualification choisie par les parties. Un contrat présenté comme un contrat de prestation de services peut ainsi être '''requalifié en contrat de travail''' si les conditions réelles d'exercice de l'activité révèlent un lien de subordination. == La formation du contrat de travail == === Application du droit commun des contrats === Le contrat de travail est soumis aux conditions générales de validité prévues par le [[Code civil (France)|Code civil]]. Selon l'article 1128 du Code civil, trois conditions sont nécessaires à la validité d'un contrat : # le consentement des parties ; # leur capacité de contracter ; # un contenu licite et certain<ref>Code civil, art. 1128.</ref>. La liberté contractuelle permet en principe à chacun de contracter ou de ne pas contracter, de choisir son cocontractant et de déterminer le contenu et la forme du contrat dans les limites fixées par la loi. Elle ne permet cependant pas de déroger aux règles d'ordre public<ref>Code civil, art. 1102.</ref>. Cette dernière limite revêt une importance particulière en droit du travail, où de nombreuses dispositions ont pour objet de protéger le salarié. === Le consentement === Le consentement de l'employeur et du salarié doit être '''libre et éclairé'''. Il peut être affecté par les trois vices du consentement prévus par le Code civil : * '''l'erreur''' ; * '''le dol''' ; * '''la violence'''<ref>Code civil, art. 1130 et suivants.</ref>. Le '''dol''' ne doit pas être confondu avec l'escroquerie au sens pénal. En droit des contrats, il peut notamment résulter de manœuvres, de mensonges ou de la dissimulation intentionnelle d'une information déterminante du consentement. === La capacité de contracter === Toute personne peut en principe contracter, sauf incapacité prévue par la loi<ref>Code civil, art. 1145.</ref>. Des règles particulières concernent notamment les mineurs et les personnes faisant l'objet d'une mesure de protection juridique. En droit du travail, un mineur peut en principe travailler à partir de seize ans. Des possibilités de travail avant cet âge existent dans les cas spécialement prévus par la loi, notamment en matière d'apprentissage. === Le recrutement === La liberté de recrutement de l'employeur est limitée par plusieurs règles. Les informations demandées au candidat doivent avoir pour seule finalité d'apprécier sa capacité à occuper l'emploi proposé ou ses aptitudes professionnelles. Elles doivent présenter un lien direct et nécessaire avec l'emploi proposé ou avec l'évaluation de ses aptitudes professionnelles<ref>Code du travail, art. L. 1221-6.</ref>. Les méthodes et techniques d'aide au recrutement doivent être portées à la connaissance du candidat et être pertinentes au regard de la finalité poursuivie<ref>Code du travail, art. L. 1221-8.</ref>. Le recrutement ne peut par ailleurs être fondé sur l'un des motifs de [[Discrimination à l'embauche|discrimination]] interdits par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. == L'offre et la promesse de contrat de travail == La jurisprudence distingue '''l'offre de contrat de travail''' de la '''promesse unilatérale de contrat de travail'''. Depuis deux arrêts rendus le 21 septembre 2017, la Cour de cassation considère que constitue une '''offre''' l'acte par lequel l'employeur propose un engagement en précisant notamment l'emploi, la rémunération et la date d'entrée en fonction et manifeste sa volonté d'être lié en cas d'acceptation<ref name="promesse">Cour de cassation, chambre sociale, 21 septembre 2017, n° 16-20.103 et n° 16-20.104, publiés au Bulletin.</ref>. L'offre peut être retirée avant qu'elle ne parvienne à son destinataire. Sa rétractation prématurée après sa réception peut empêcher la formation du contrat mais être susceptible d'engager la responsabilité de son auteur. La '''promesse unilatérale de contrat de travail''' est, quant à elle, le contrat par lequel l'employeur accorde au bénéficiaire le droit d'opter pour la conclusion d'un contrat dont les éléments essentiels sont déjà déterminés et pour lequel ne manque plus que le consentement du bénéficiaire<ref name="promesse" />. == La forme du contrat de travail == === Le principe === L'article L. 1221-1 du Code du travail prévoit que le contrat peut être établi selon les formes choisies par les parties. En conséquence, un '''CDI à temps complet''' peut en principe être conclu sans contrat écrit, sous réserve des dispositions conventionnelles applicables. L'absence d'un contrat écrit ne signifie toutefois pas que l'employeur est dispensé d'informer le salarié des éléments essentiels de la relation de travail. L'employeur doit remettre au salarié les informations prévues par le Code du travail concernant notamment l'identité des parties, le lieu de travail, l'emploi occupé, la rémunération, la durée du travail, les congés, la période d'essai et les règles applicables à la rupture de la relation de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-5-1 et R. 1221-34 et suivants.</ref>. === Les contrats obligatoirement écrits === Certains contrats doivent obligatoirement être établis par écrit. C'est notamment le cas : * du [[Contrat de travail à durée déterminée|CDD]] ; * du contrat de travail temporaire ; * du contrat à temps partiel ; * du contrat d'apprentissage ; * de plusieurs contrats particuliers prévus par la législation. Le contrat à temps partiel doit notamment mentionner la qualification du salarié, les éléments de rémunération, la durée hebdomadaire ou mensuelle prévue et les modalités de répartition et de modification de la durée du travail<ref>Code du travail, art. L. 3123-6.</ref>. == Les principales formes de contrat de travail == === Le contrat à durée indéterminée === Le '''[[Contrat de travail à durée indéterminée|contrat à durée indéterminée]]''' (CDI) constitue, selon l'article L. 1221-2 du Code du travail, la '''forme normale et générale de la relation de travail'''<ref>Code du travail, art. L. 1221-2.</ref>. Il est conclu sans limitation de durée. Il peut être à temps complet ou à temps partiel. === Le contrat à durée déterminée === Le '''[[Contrat de travail à durée déterminée|contrat à durée déterminée]]''' (CDD) constitue une forme dérogatoire de contrat de travail. Il ne peut avoir ni pour objet ni pour effet de pourvoir durablement un emploi lié à l'activité normale et permanente de l'entreprise<ref>Code du travail, art. L. 1242-1.</ref>. Il ne peut être conclu que dans les cas autorisés par la loi, notamment pour : * le remplacement de certains salariés absents ; * un accroissement temporaire de l'activité de l'entreprise ; * certains emplois saisonniers ; * certains emplois pour lesquels il est d'usage constant de ne pas recourir au CDI ; * les autres hypothèses expressément prévues par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1242-2 et suivants.</ref>. Le CDD doit être établi par écrit et comporter la '''définition précise de son motif'''. À défaut d'écrit ou de motif suffisamment précis, il peut être réputé conclu pour une durée indéterminée<ref>Code du travail, art. L. 1242-12.</ref>. Il doit être transmis au salarié au plus tard dans les deux jours ouvrables suivant l'embauche<ref>Code du travail, art. L. 1242-13.</ref>. Le seul retard dans la transmission du contrat n'entraîne toutefois plus, à lui seul, sa requalification en CDI. Il peut ouvrir droit à une indemnité dans les conditions prévues par l'article L. 1245-1 du Code du travail. === Le travail temporaire === Le [[Travail temporaire en droit français|travail temporaire]] repose sur une relation triangulaire entre : * l'entreprise de travail temporaire ; * le salarié temporaire ; * l'entreprise utilisatrice. Le salarié conclut un contrat de mission avec l'entreprise de travail temporaire, laquelle conclut parallèlement un contrat de mise à disposition avec l'entreprise utilisatrice. Le recours au travail temporaire est, comme le CDD, limité aux cas autorisés par la loi. == La période d'essai == La [[Période d'essai en droit français|période d'essai]] permet à l'employeur d'évaluer les compétences du salarié et à celui-ci d'apprécier si les fonctions occupées lui conviennent<ref>Code du travail, art. L. 1221-20.</ref>. Elle '''ne se présume pas'''. Elle doit être expressément stipulée dans la lettre d'engagement ou le contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-23.</ref>. Pour un CDI, sa durée initiale maximale est de : * '''deux mois''' pour les ouvriers et employés ; * '''trois mois''' pour les agents de maîtrise et les techniciens ; * '''quatre mois''' pour les cadres<ref>Code du travail, art. L. 1221-19.</ref>. Elle ne peut être renouvelée qu'une fois lorsque les conditions légales sont réunies, notamment lorsqu'un accord de branche étendu prévoit cette possibilité<ref>Code du travail, art. L. 1221-21.</ref>. La rupture de la période d'essai est en principe libre, sous réserve notamment du respect des délais de prévenance, de l'interdiction des discriminations et de l'abus de droit. == Les clauses du contrat de travail == Le contenu du contrat de travail est encadré par la loi, les conventions et accords collectifs ainsi que par les droits fondamentaux du salarié. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose que les restrictions apportées aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives doivent être '''justifiées par la nature de la tâche à accomplir et proportionnées au but recherché'''<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref>. === La clause de mobilité === La '''clause de mobilité''' permet à l'employeur de modifier le lieu de travail du salarié dans une zone géographique définie à l'avance. La zone d'application de la clause doit être suffisamment précise et ne peut être étendue unilatéralement par l'employeur. Même lorsqu'elle est valable, sa mise en œuvre doit être effectuée de bonne foi et dans le respect des droits du salarié. === La clause de non-concurrence === La '''clause de non-concurrence''' limite la possibilité pour le salarié d'exercer, après la fin du contrat, une activité concurrente. La jurisprudence exige notamment qu'elle soit : * justifiée par les intérêts légitimes de l'entreprise ; * limitée dans le temps ; * limitée dans l'espace ; * adaptée aux caractéristiques de l'emploi du salarié ; * assortie d'une '''contrepartie financière'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 10 juillet 2002, n° 00-45.135, publié au Bulletin.</ref>. Ces conditions sont cumulatives. === La clause d'exclusivité === La '''clause d'exclusivité''' interdit au salarié d'exercer une autre activité professionnelle pendant l'exécution de son contrat. Parce qu'elle porte atteinte à la liberté du travail, elle doit être justifiée par la nature de la tâche à accomplir et proportionnée au but recherché. Elle doit être distinguée de l''''obligation de loyauté''', qui s'impose au salarié même en l'absence de clause contractuelle particulière. === La clause de dédit-formation === La '''clause de dédit-formation''' permet, sous certaines conditions, de prévoir que le salarié remboursera une partie des frais de formation spécialement engagés par l'employeur s'il quitte l'entreprise avant une certaine date. Elle ne doit notamment pas avoir pour effet de priver le salarié de la possibilité effective de démissionner. == L'exécution du contrat de travail == L'article L. 1222-1 du Code du travail prévoit que le contrat de travail est '''exécuté de bonne foi'''<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref>. Cette obligation s'impose aux deux parties. === Les obligations du salarié === Le salarié doit notamment : * fournir le travail convenu ; * respecter les instructions licites de l'employeur ; * respecter les règles de sécurité ; * exécuter son contrat avec loyauté ; * respecter, lorsqu'elles sont justifiées, ses obligations de confidentialité. Le salarié demeure toutefois titulaire de ses droits et libertés fondamentaux. === Les obligations de l'employeur === L'employeur doit notamment : * fournir le travail convenu ; * verser la rémunération due ; * respecter les dispositions légales et conventionnelles ; * respecter les droits et libertés du salarié ; * assurer l'adaptation du salarié à son poste et veiller au maintien de sa capacité à occuper un emploi ; * assurer la sécurité et protéger la santé physique et mentale des travailleurs. L'article L. 4121-1 du Code du travail impose à l'employeur de prendre les mesures nécessaires en matière de prévention des risques professionnels, d'information, de formation, d'organisation et de moyens adaptés<ref>Code du travail, art. L. 4121-1.</ref>. == La modification du contrat de travail == Il convient de distinguer la '''modification du contrat de travail''' du simple '''changement des conditions de travail'''. === Modification d'un élément contractuel === La modification d'un élément essentiel du contrat nécessite en principe l''''accord du salarié'''. Tel est notamment le cas, selon les circonstances, d'une modification : * de la rémunération contractuelle ; * de la qualification professionnelle ; * de la durée contractuelle du travail ; * d'un élément du contrat que les parties ont expressément contractualisé. L'employeur ne peut donc pas imposer unilatéralement une telle modification. Lorsque la proposition de modification repose sur un motif économique, l'article L. 1222-6 prévoit une procédure particulière. Le salarié dispose en principe d'un délai d'un mois pour faire connaître son refus ; ce délai est ramené à quinze jours lorsque l'entreprise fait l'objet d'une procédure de redressement ou de liquidation judiciaire<ref>Code du travail, art. L. 1222-6.</ref>. === Changement des conditions de travail === L'employeur peut en principe imposer les changements qui relèvent de son pouvoir de direction et qui ne modifient pas un élément contractuel. La frontière entre modification du contrat et changement des conditions de travail est largement déterminée par la jurisprudence et dépend des circonstances propres à chaque relation de travail. == La suspension du contrat de travail == La '''suspension''' du contrat interrompt temporairement l'exécution de certaines obligations principales sans entraîner la disparition du contrat. Elle peut notamment résulter : * d'un arrêt de travail pour maladie ou accident ; * d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle ; * d'un congé de maternité, de paternité ou d'adoption ; * de certains congés familiaux ; * d'une grève ; * d'une mise à pied ; * de certaines périodes de formation ou de congés prévues par la loi. Pendant la suspension, le salarié n'est généralement plus tenu de fournir sa prestation de travail et l'employeur n'est pas toujours tenu de maintenir le salaire. Les effets précis dépendent de la cause de la suspension. Certaines obligations, notamment l'obligation de loyauté, peuvent continuer à produire leurs effets. == La rupture du contrat de travail == Les règles de rupture dépendent notamment de la nature du contrat. === Rupture du CDI === L'article L. 1231-1 du Code du travail prévoit que le CDI peut être rompu à l'initiative de l'employeur, à l'initiative du salarié ou d'un commun accord<ref>Code du travail, art. L. 1231-1.</ref>. Les principaux modes de rupture sont : * le [[Licenciement en France|licenciement]] ; * la [[Démission en droit du travail français|démission]] ; * la [[Rupture conventionnelle en droit français|rupture conventionnelle]] ; * le départ ou la mise à la retraite ; * la prise d'acte de la rupture ; * la résiliation judiciaire ; * certaines ruptures collectives prévues par la loi. ==== Le licenciement ==== Le licenciement peut notamment être fondé sur un motif personnel ou sur un motif économique. Tout licenciement pour motif personnel doit être justifié par une '''cause réelle et sérieuse'''<ref>Code du travail, art. L. 1232-1.</ref>. Lorsque le licenciement repose sur un motif économique, il doit satisfaire aux conditions prévues par les articles L. 1233-1 et suivants du Code du travail. La procédure de licenciement est strictement encadrée. ==== La démission ==== La démission est l'acte par lequel le salarié manifeste sa volonté de mettre fin à son CDI. La volonté de démissionner doit être '''claire et non équivoque'''. Sauf dispense ou disposition particulière, le salarié est normalement tenu de respecter un préavis déterminé notamment par la convention collective, les usages ou le contrat. ==== La rupture conventionnelle ==== La rupture conventionnelle individuelle permet à l'employeur et au salarié de convenir ensemble des conditions de la rupture du CDI. Elle ne constitue ni un licenciement ni une démission et ne peut être imposée par l'une des parties à l'autre<ref>Code du travail, art. L. 1237-11.</ref>. Elle suppose notamment la signature d'une convention, le respect d'un délai de rétractation et une homologation administrative, sauf régime particulier applicable aux salariés protégés. === Rupture du CDD === Le CDD prend normalement fin à l'arrivée de son terme ou à la réalisation de l'objet pour lequel il a été conclu. Avant son terme, il ne peut en principe être rompu que dans les cas prévus par la loi. Sauf accord entre les parties, la rupture anticipée est notamment possible en cas : * de faute grave ; * de force majeure ; * d'inaptitude constatée par le médecin du travail<ref>Code du travail, art. L. 1243-1.</ref>. Le salarié peut également rompre son CDD avant son terme lorsqu'il justifie de la conclusion d'un CDI<ref>Code du travail, art. L. 1243-2.</ref>. == Le transfert du contrat de travail == Le caractère personnel de la relation de travail n'empêche pas le contrat de se poursuivre dans certaines hypothèses de changement d'employeur. L'article L. 1224-1 du Code du travail prévoit notamment qu'en cas de modification dans la situation juridique de l'employeur, telle qu'une succession, une vente, une fusion ou une transformation du fonds, les contrats de travail en cours subsistent entre le nouvel employeur et le personnel de l'entreprise lorsque les conditions légales et jurisprudentielles du transfert sont réunies<ref>Code du travail, art. L. 1224-1.</ref>. La jurisprudence de la [[Cour de justice de l'Union européenne]] et de la Cour de cassation joue un rôle important dans l'interprétation de ces règles. == La preuve du contrat de travail == Lorsqu'un écrit n'est pas légalement obligatoire, l'existence du contrat de travail peut être établie par différents moyens. En cas de contestation, le juge recherche concrètement l'existence d'une prestation de travail, d'une rémunération et surtout d'un lien de subordination. Les éléments susceptibles d'être examinés peuvent notamment comprendre : * les horaires imposés ; * les instructions reçues ; * les comptes rendus d'activité ; * le contrôle exercé sur le travail ; * l'intégration dans un service organisé ; * l'existence d'un pouvoir disciplinaire ; * les modalités de rémunération ; * les courriers, courriels et autres documents professionnels. La qualification retenue par les parties ne lie donc pas le juge. == Le contentieux du contrat de travail == Les litiges individuels nés à l'occasion d'un contrat de travail de droit privé relèvent en principe du [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]]<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Le conseil de prud'hommes peut notamment être saisi de litiges concernant : * l'existence ou la qualification d'un contrat de travail ; * les salaires et accessoires de rémunération ; * l'exécution du contrat ; * les sanctions disciplinaires ; * la modification du contrat ; * la rupture de la relation de travail ; * la requalification d'un CDD ou d'une relation présentée comme indépendante ; * les discriminations et les situations de harcèlement. Les règles de prescription varient selon la nature de l'action exercée. == Principaux textes applicables == Les dispositions relatives au contrat de travail sont principalement contenues dans : * le '''Code du travail''', en particulier son livre II consacré au contrat de travail ; * le '''Code civil''', notamment pour les règles générales relatives à la formation, à la validité et à l'exécution des contrats ; * les [[Convention collective en France|conventions et accords collectifs]] ; * le contrat de travail lui-même ; * la jurisprudence de la Cour de cassation, du [[Conseil d'État (France)|Conseil d'État]], du [[Conseil constitutionnel (France)|Conseil constitutionnel]], de la [[Cour de justice de l'Union européenne]] et de la [[Cour européenne des droits de l'homme]] lorsqu'elle est applicable. En raison de la hiérarchie et de l'articulation particulières des normes en droit du travail, une stipulation du contrat ne peut produire d'effet lorsqu'elle méconnaît une règle impérative qui lui est applicable. == Notes et références == <references /> == Voir aussi == * [[Droit du travail en France]] * [[Contrat de travail]] * [[Contrat de travail à durée indéterminée]] * [[Contrat de travail à durée déterminée]] * [[Licenciement en France]] * [[Rupture conventionnelle en droit français]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Convention collective en France]] * [[Salaire en France]] rzl8chr4bg69ufbnccra6rw2n4ilhsn 2 87386 987273 987150 2026-10-11T21:16:40Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Salarié]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Salarié]] 987150 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> = Le salarié = Le '''salarié''' constitue l'une des deux parties au [[contrat de travail en France|contrat de travail]], l'autre étant l'[[employeur]]. La qualité de salarié entraîne l'application d'un ensemble de règles protectrices issues principalement du [[Code du travail (France)|Code du travail]], des conventions et accords collectifs, du contrat de travail et de la jurisprudence. La notion de salarié est fondamentale en [[Droit du travail en France|droit du travail]] : avant de déterminer quels droits sont applicables à une personne qui travaille, il faut déterminer si celle-ci possède juridiquement la qualité de salarié. Cette qualification ne dépend pas uniquement de la volonté des parties. Une personne présentée comme travailleur indépendant, prestataire de services, auto-entrepreneur ou partenaire commercial peut être reconnue comme salariée lorsque les conditions réelles d'exercice de son activité révèlent l'existence d'un contrat de travail. == Objectifs pédagogiques == À l'issue de ce cours, l'étudiant doit être capable de : * définir juridiquement la notion de salarié ; * identifier les éléments constitutifs d'une relation de travail salariée ; * caractériser un [[Lien de subordination|lien de subordination juridique]] ; * distinguer salarié, travailleur indépendant, stagiaire, bénévole, mandataire social et agent public ; * comprendre les mécanismes de présomption de salariat et de non-salariat ; * déterminer les règles de preuve applicables à l'existence d'un contrat de travail ; * identifier les principales obligations du salarié ; * connaître les principaux droits attachés au statut de salarié ; * comprendre la notion de salarié protégé ; * résoudre un cas pratique relatif à la requalification d'une relation de travail. == Introduction : une notion principalement jurisprudentielle == Le Code du travail utilise constamment le terme de « salarié » mais n'en fournit pas de définition générale. L'article L. 1221-1 du Code du travail dispose simplement que : : « Le contrat de travail est soumis aux règles du droit commun. Il peut être établi selon les formes que les parties contractantes décident d'adopter. »<ref>Code du travail, art. L. 1221-1.</ref> La définition du salarié résulte donc principalement de la jurisprudence. On peut définir le salarié comme une '''personne physique qui accomplit une prestation de travail, moyennant rémunération, pour le compte d'une autre personne sous l'autorité de laquelle elle est placée'''. Trois éléments permettent ainsi, en principe, d'identifier une relation salariée : # une '''prestation de travail''' ; # une '''rémunération''' ; # un '''lien de subordination juridique'''. Le troisième élément constitue le critère déterminant. = Première partie : L'identification du salarié = == Chapitre 1 : Les éléments du contrat de travail == === La prestation de travail === La qualité de salarié suppose en principe l'accomplissement d'une '''activité pour le compte d'autrui'''. La nature de cette activité importe peu. Elle peut notamment être : * manuelle ; * intellectuelle ; * commerciale ; * administrative ; * artistique ; * sportive ; * technique ; * scientifique. Le salarié fournit personnellement la prestation convenue. Le contrat de travail présente ainsi un caractère '''''[[Intuitu personæ|intuitu personae]]''''' à son égard : l'employeur embauche une personne déterminée en considération notamment de ses compétences et de ses aptitudes. L'existence d'une prestation de travail ne suffit cependant pas à caractériser une relation salariée. Un entrepreneur, un bénévole ou un stagiaire peuvent également fournir une activité au profit d'une autre personne. === La rémunération === Le travail salarié est normalement accompli en contrepartie d'une '''rémunération'''. Celle-ci peut notamment comprendre : * un salaire de base ; * des commissions ; * des primes ; * des gratifications ; * des avantages en nature ; * certains accessoires de salaire. Le mode de calcul de la rémunération est indifférent à la qualification de salarié. Elle peut être calculée en fonction : * du temps de travail ; * du rendement ; * du chiffre d'affaires ; * du nombre d'opérations accomplies ; * d'une combinaison de plusieurs critères. Le fait qu'une personne soit rémunérée à la tâche ou à la commission ne suffit donc pas à exclure le salariat. === Le lien de subordination juridique === Le '''lien de subordination''' constitue le critère essentiel de la relation salariée. Dans son arrêt ''Société Générale'' du 13 novembre 1996, la chambre sociale de la Cour de cassation a défini le lien de subordination comme l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur disposant du pouvoir : * de donner des '''ordres et directives''' ; * d'en '''contrôler l'exécution''' ; * de '''sanctionner''' les manquements de son subordonné<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Cette définition demeure la référence fondamentale en droit français. On distingue ainsi trois pouvoirs. ==== Le pouvoir de direction ==== L'employeur peut déterminer les conditions dans lesquelles le salarié accomplit son travail. Il peut notamment, dans les limites de son pouvoir de direction : * donner des instructions ; * fixer des objectifs ; * organiser le travail ; * déterminer des procédures ; * répartir les tâches ; * imposer certaines méthodes de travail. ==== Le pouvoir de contrôle ==== L'employeur doit pouvoir vérifier l'exécution de la prestation. Le contrôle peut notamment porter sur : * les horaires ; * la qualité du travail ; * le respect des instructions ; * les résultats obtenus ; * la présence du salarié ; * certaines modalités d'organisation du travail. Dans les activités numériques, la surveillance peut également prendre la forme d'un contrôle effectué au moyen d'une application, d'un système informatique ou d'un dispositif de géolocalisation. ==== Le pouvoir de sanction ==== L'employeur dispose enfin d'un pouvoir disciplinaire. Il peut sanctionner les comportements qu'il considère comme fautifs dans les conditions prévues par le Code du travail. Le pouvoir de sanction constitue un indice particulièrement important de subordination. {{Encadré | titre = À retenir | contenu = Le lien de subordination repose classiquement sur le triptyque '''direction – contrôle – sanction'''. }} == Chapitre 2 : La méthode du faisceau d'indices == L'existence d'une relation salariée ne résulte pas nécessairement d'un indice unique. Le juge procède à une analyse concrète des conditions dans lesquelles l'activité est exercée. Parmi les éléments pouvant être pris en considération figurent notamment : * l'existence d'horaires imposés ; * l'obligation de respecter un planning ; * le lieu de travail imposé ; * les instructions reçues ; * les comptes rendus devant être effectués ; * l'intégration à une organisation déterminée ; * l'utilisation de matériel fourni ; * l'existence d'objectifs fixés unilatéralement ; * le contrôle de l'activité ; * l'existence de sanctions ; * la fixation unilatérale des tarifs ; * l'impossibilité réelle de développer une clientèle propre ; * l'obligation de porter certains équipements ou signes distinctifs ; * les conditions de rupture de la relation. Aucun de ces éléments n'est nécessairement décisif pris isolément. === Le service organisé === Dans l'arrêt ''Société Générale'', la Cour de cassation a également précisé que le travail au sein d'un '''service organisé''' peut constituer un indice de subordination lorsque l'employeur détermine unilatéralement les conditions d'exécution du travail<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187.</ref>. L'intégration dans une organisation ne constitue donc pas, à elle seule, le critère du contrat de travail. Elle constitue un '''indice''' venant compléter l'analyse des pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction. == Chapitre 3 : La réalité prime sur la qualification choisie par les parties == Un principe essentiel veut que l'existence d'une relation salariée ne dépende pas du nom donné au contrat. Dans l'arrêt ''Labbane'' du 19 décembre 2000, la Cour de cassation affirme que : : l'existence d'une relation de travail ne dépend ni de la volonté exprimée par les parties, ni de la dénomination donnée à leur convention, mais des conditions de fait dans lesquelles l'activité est exercée<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 19 décembre 2000, n° 98-40.572, publié au Bulletin.</ref>. Ainsi, la dénomination : * « contrat de prestation de services » ; * « partenariat » ; * « freelance » ; * « consultant indépendant » ; * « auto-entrepreneur » ; * « contrat commercial » n'empêche pas le juge de constater l'existence d'un contrat de travail. Inversement, la seule signature d'un document intitulé « contrat de travail » n'est pas toujours suffisante lorsque la réalité de la relation est contestée et que le contrat apparaît fictif. La qualification juridique dépend donc de la '''réalité de la relation'''. = Deuxième partie : Salarié et travailleur indépendant = == Chapitre 1 : Le principe de distinction == Le travailleur indépendant exerce normalement son activité pour son propre compte. Il organise son activité de manière autonome et supporte les risques économiques qui lui sont attachés. Le salarié travaille au contraire dans le cadre d'un pouvoir juridique exercé par un employeur. La distinction ne repose donc pas uniquement sur la dépendance économique. Une personne peut dépendre financièrement presque entièrement d'un client sans être juridiquement salariée. À l'inverse, un salarié peut disposer d'une très grande autonomie technique tout en restant placé sous l'autorité juridique d'un employeur. == Chapitre 2 : La présomption de non-salariat == L'article L. 8221-6 du Code du travail institue une '''présomption de non-salariat''' concernant notamment certaines personnes régulièrement immatriculées pour exercer leur activité professionnelle<ref>Code du travail, art. L. 8221-6.</ref>. Sont notamment concernés certains entrepreneurs individuels et dirigeants de personnes morales. Cette présomption n'est toutefois pas irréfragable. L'article L. 8221-6 prévoit expressément que l'existence d'un contrat de travail peut être établie lorsque ces personnes fournissent leurs prestations à un donneur d'ordre dans des conditions les plaçant dans un '''lien de subordination juridique permanente''' à son égard. Ainsi : : '''immatriculation comme indépendant ≠ impossibilité d'être reconnu salarié'''. == Chapitre 3 : Les travailleurs des plateformes numériques == Le développement des plateformes numériques a profondément renouvelé le contentieux relatif à la qualification du contrat de travail. === L'arrêt ''Take Eat Easy'' === Dans un arrêt du 28 novembre 2018 concernant un livreur à vélo travaillant pour la plateforme Take Eat Easy, la Cour de cassation a relevé notamment : * l'existence d'un système de géolocalisation permettant de suivre le coursier ; * l'existence d'un système de pénalités ; * la possibilité de désactiver son compte. Elle en a déduit l'existence d'un pouvoir de direction et de contrôle susceptible de caractériser un lien de subordination<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 28 novembre 2018, n° 17-20.079, publié au Bulletin.</ref>. === L'arrêt ''Uber'' === La Cour de cassation a également reconnu l'existence d'un contrat de travail concernant un chauffeur utilisant la plateforme Uber dans un arrêt du 4 mars 2020<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 4 mars 2020, n° 19-13.316, publié au Bulletin.</ref>. La Cour a notamment examiné : * l'intégration du chauffeur dans un service de transport entièrement organisé par la plateforme ; * l'absence de constitution libre d'une clientèle propre ; * la fixation des tarifs par la plateforme ; * le contrôle de l'activité ; * les mécanismes de sanction ou de déconnexion. {{Encadré | titre = Méthode | contenu = Pour déterminer si un travailleur de plateforme est salarié, il ne faut pas se demander seulement s'il est libre de se connecter ou non. Il faut analyser les conditions dans lesquelles il exerce effectivement son activité une fois connecté. }} = Troisième partie : Les présomptions légales de salariat = Dans certaines professions, le législateur facilite la reconnaissance du statut de salarié en instituant une '''présomption de contrat de travail'''. == Les journalistes professionnels == L'article L. 7112-1 du Code du travail prévoit que toute convention par laquelle une entreprise de presse s'assure, moyennant rémunération, le concours d'un journaliste professionnel est présumée être un contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 7112-1.</ref>. Cette présomption subsiste quels que soient : * le mode de rémunération ; * le montant de la rémunération ; * la qualification donnée à la convention par les parties. == Les artistes du spectacle == L'article L. 7121-3 du Code du travail instaure également une présomption de contrat de travail pour les artistes du spectacle dans les conditions qu'il prévoit<ref>Code du travail, art. L. 7121-3.</ref>. == Les mannequins == Tout contrat par lequel une personne s'assure, moyennant rémunération, le concours d'un mannequin est en principe présumé être un contrat de travail<ref>Code du travail, art. L. 7123-3 et L. 7123-4.</ref>. Cette présomption illustre le fait que le droit positif peut exceptionnellement reconnaître le salariat sans exiger du travailleur qu'il rapporte lui-même la preuve classique de tous les indices de subordination. = Quatrième partie : Les frontières de la qualité de salarié = == Chapitre 1 : Le salarié et le stagiaire == Le [[Stage en France|stagiaire]] n'est pas, par principe, un salarié. Le stage poursuit une finalité pédagogique et s'inscrit dans un cursus de formation. La gratification éventuellement versée au stagiaire ne constitue pas à elle seule un salaire. Toutefois, une entreprise ne peut utiliser un stage pour pourvoir durablement un emploi correspondant à son activité normale et permanente. Lorsque les conditions réelles révèlent non pas un stage mais une véritable prestation de travail exécutée dans un lien de subordination, la qualification juridique de la relation peut être contestée. Il faut également distinguer les notions de '''salarié''' et de '''travailleur'''. Pour l'application des règles relatives à la santé et à la sécurité, l'article L. 4111-5 du Code du travail adopte une définition plus large : sont notamment considérés comme travailleurs les salariés, les travailleurs temporaires, les stagiaires et toute personne placée à quelque titre que ce soit sous l'autorité de l'employeur<ref>Code du travail, art. L. 4111-5.</ref>. Un stagiaire peut donc être un « travailleur » au sens de certaines dispositions sans être pour autant un salarié. == Chapitre 2 : Le salarié et le bénévole == Le bénévolat se caractérise par l'absence de rémunération et, en principe, par une liberté incompatible avec le lien de subordination caractéristique du salariat. La qualification retenue par une association n'est cependant pas déterminante. Une personne présentée comme bénévole peut revendiquer l'existence d'un contrat de travail lorsque les conditions réelles de son activité démontrent : * une véritable prestation de travail ; * une rémunération ou des avantages constituant la contrepartie du travail ; * un lien de subordination. Le remboursement de frais réellement exposés ne constitue pas, à lui seul, une rémunération. == Chapitre 3 : Le salarié et l'apprenti == L'[[Apprentissage|apprenti]] est bien un salarié. L'article L. 6221-1 du Code du travail définit le contrat d'apprentissage comme un '''contrat de travail de type particulier'''<ref>Code du travail, art. L. 6221-1.</ref>. L'employeur s'engage : * à verser un salaire ; * à fournir du travail ; * à assurer une formation professionnelle. L'apprenti s'engage à travailler pour l'employeur et à suivre la formation correspondante. Son statut combine donc : * une dimension professionnelle ; * une dimension pédagogique. == Chapitre 4 : Le salarié et le mandataire social == Un [[Mandataire social|mandataire social]] n'est pas nécessairement un salarié. Le président d'une société, un directeur général ou un gérant exerce d'abord un '''mandat social'''. Un mandat social peut néanmoins, dans certaines conditions, être cumulé avec un contrat de travail. Il faut notamment pouvoir identifier : * des fonctions techniques distinctes du mandat ; * une rémunération correspondant à ces fonctions ; * surtout, un véritable lien de subordination dans l'exercice des fonctions salariées. Lorsque le mandataire dispose en réalité des pouvoirs les plus étendus et n'est soumis à aucune autorité susceptible de lui donner des ordres, d'en contrôler l'exécution et de le sanctionner, la qualification de salarié devient en principe impossible pour ces fonctions. La Cour de cassation admet également que le contrat de travail préexistant d'un salarié devenu mandataire social puisse être '''suspendu''' pendant l'exercice du mandat lorsque le lien de subordination disparaît<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 8 octobre 2003, n° 01-43.556, publié au Bulletin.</ref>. == Chapitre 5 : L'« assimilé salarié » n'est pas nécessairement un salarié == Il faut distinguer le '''salarié au sens du droit du travail''' de la personne parfois appelée « assimilée salariée » en matière de protection sociale. Le Code de la sécurité sociale rattache au régime général certaines catégories de dirigeants, notamment certains présidents et dirigeants de sociétés par actions simplifiées<ref>Code de la sécurité sociale, art. L. 311-3.</ref>. Cette affiliation sociale n'entraîne pas automatiquement l'existence d'un contrat de travail. La qualité de salarié au sens du droit du travail suppose toujours, hors régime légal particulier, la réunion des critères du contrat de travail et notamment d'un lien de subordination. {{Encadré | titre = Attention | contenu = '''Régime général de sécurité sociale''' et '''statut de salarié en droit du travail''' sont deux questions juridiquement distinctes. }} == Chapitre 6 : Le salarié et l'agent public == Les fonctionnaires et la majorité des agents publics ne sont pas des salariés de droit privé. Leur situation relève principalement du [[Droit de la fonction publique en France|droit de la fonction publique]] et du droit administratif. Toutefois, certaines personnes peuvent être employées par une personne publique dans les conditions du droit privé. L'article L. 1411-2 du Code du travail prévoit que le conseil de prud'hommes règle les différends et litiges concernant les personnels des services publics lorsqu'ils sont employés dans les conditions du droit privé<ref>Code du travail, art. L. 1411-2.</ref>. Le caractère public de l'employeur ne suffit donc pas toujours à exclure la qualité de salarié de droit privé. = Cinquième partie : La preuve de la qualité de salarié = == Chapitre 1 : L'absence de contrat de travail apparent == Lorsqu'aucun contrat de travail apparent n'existe, celui qui revendique la qualité de salarié doit en principe établir l'existence de la relation de travail dont il se prévaut. Il peut produire différents éléments : * courriels ; * messages ; * plannings ; * instructions ; * relevés de connexion ; * relevés de géolocalisation ; * attestations ; * relevés de paiement ; * tableaux de service ; * documents internes ; * preuves de sanctions ; * outils de contrôle de l'activité. Le juge examine l'ensemble des circonstances de fait. == Chapitre 2 : Le contrat de travail apparent == La situation est différente lorsqu'il existe un '''contrat de travail apparent'''. Celui-ci peut notamment résulter de la production : * d'un contrat de travail ; * de bulletins de salaire ; * d'éléments manifestant extérieurement l'existence d'une relation salariée. En présence d'un contrat de travail apparent, il appartient à celui qui soutient que ce contrat est fictif d'en rapporter la preuve. La chambre sociale de la Cour de cassation a encore rappelé ce principe dans un arrêt du '''9 avril 2026'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 9 avril 2026, n° 25-10.247.</ref>. Cette distinction est importante en pratique : {| class="wikitable" ! Situation ! Charge initiale de la preuve |- | Absence de contrat de travail apparent | Celui qui revendique la qualité de salarié doit établir la relation de travail |- | Contrat de travail apparent | Celui qui soutient que le contrat est fictif doit en rapporter la preuve |} = Sixième partie : Les droits fondamentaux du salarié = La subordination juridique ne signifie pas que le salarié abandonne ses droits fondamentaux à l'entrée de l'entreprise. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose qu'aucune restriction ne peut être apportée aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives si elle n'est pas : * '''justifiée par la nature de la tâche à accomplir''' ; * '''proportionnée au but recherché'''<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref>. Ce principe constitue l'une des règles fondamentales du droit contemporain du travail. == La dignité et la vie personnelle == Le salarié conserve notamment le droit : * au respect de sa dignité ; * au respect de sa vie privée et personnelle ; * au secret de ses correspondances dans les conditions reconnues par la jurisprudence ; * à la protection de ses données personnelles. Les moyens de contrôle mis en place par l'employeur doivent respecter les conditions légales et le principe de proportionnalité. == La liberté d'expression == Le salarié bénéficie d'une liberté d'expression dans et hors de l'entreprise. Cette liberté connaît cependant certaines limites. L'abus peut notamment résulter, selon les circonstances, de propos injurieux, diffamatoires ou excessifs. Une simple critique de l'employeur ne constitue donc pas nécessairement une faute. == La liberté syndicale == Le salarié bénéficie du droit : * d'adhérer à un syndicat ; * de ne pas y adhérer ; * d'exercer une activité syndicale ; * de participer à l'exercice collectif des droits des travailleurs. L'activité syndicale ne peut justifier une discrimination. == Le droit de grève == Le [[Droit de grève en France|droit de grève]] est un droit de valeur constitutionnelle. Lorsqu'il est exercé conformément aux conditions légales, il suspend le contrat de travail mais ne le rompt pas. Son exercice ne peut en principe justifier une sanction ou un licenciement, sauf notamment faute lourde imputable au salarié. == Le principe de non-discrimination == L'article L. 1132-1 du Code du travail interdit notamment qu'un salarié fasse l'objet d'une mesure discriminatoire en raison de nombreux motifs protégés par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. Sont notamment concernés : * l'origine ; * le sexe ; * l'âge ; * la situation de famille ; * la grossesse ; * l'état de santé ; * le handicap ; * l'orientation sexuelle ; * l'identité de genre ; * les opinions politiques ; * les activités syndicales ; * les convictions religieuses ; * le lieu de résidence ; * l'apparence physique ; * l'exercice d'un mandat électif ; * la qualité de lanceur d'alerte dans les conditions prévues par la loi. = Septième partie : Les principaux droits liés au statut de salarié = Le statut de salarié permet l'application d'un ensemble de garanties légales et conventionnelles. Elles concernent notamment : * la rémunération minimale ; * la durée du travail ; * les repos ; * les congés payés ; * la santé et la sécurité ; * la formation professionnelle ; * la protection contre les discriminations ; * la protection contre le harcèlement ; * la représentation collective ; * la réglementation du licenciement ; * l'assurance chômage, sous réserve de ses conditions propres ; * la protection sociale. Ces droits varient toutefois selon : * la nature du contrat ; * la durée du travail ; * l'ancienneté ; * la convention collective ; * la taille de l'entreprise ; * la situation personnelle du salarié. == Le droit à rémunération == L'employeur doit verser au salarié la rémunération convenue en contrepartie du travail accompli. Cette rémunération doit respecter notamment : * le [[Salaire minimum interprofessionnel de croissance|SMIC]] ; * le minimum conventionnel lorsqu'il est plus favorable et applicable ; * le principe d'égalité de rémunération ; * les dispositions relatives à l'égalité professionnelle entre les femmes et les hommes. == Le droit au repos et aux congés == Le salarié bénéficie des garanties légales relatives : * aux durées maximales de travail ; * aux repos quotidien et hebdomadaire ; * aux congés payés ; * à différents congés familiaux ou personnels. Ces droits constituent une contrepartie essentielle de la mise à disposition de la force de travail du salarié. == Le droit à la santé et à la sécurité == L'employeur est tenu de prendre les mesures nécessaires pour assurer la sécurité et protéger la santé physique et mentale des travailleurs. Le salarié est lui-même soumis à certaines obligations. L'article L. 4122-1 prévoit qu'il incombe à chaque travailleur, en fonction de sa formation et de ses possibilités, de prendre soin : * de sa propre santé et sécurité ; * de celles des autres personnes concernées par ses actes ou omissions au travail<ref>Code du travail, art. L. 4122-1.</ref>. Cette obligation du salarié est toutefois '''sans incidence sur le principe de responsabilité de l'employeur'''. = Huitième partie : Les obligations du salarié = La qualité de salarié confère des droits mais impose également des obligations. == L'exécution personnelle du travail == Le salarié doit accomplir personnellement le travail pour lequel il a été engagé. Il ne peut normalement se faire remplacer librement par la personne de son choix. == Le respect des directives de l'employeur == Le lien de subordination implique que le salarié respecte les directives relevant légitimement du pouvoir de direction de l'employeur. Il n'est toutefois pas tenu d'exécuter un ordre : * manifestement illicite ; * portant une atteinte injustifiée à ses droits fondamentaux ; * susceptible, dans certaines circonstances, de présenter un danger grave et imminent ouvrant droit à l'exercice du droit de retrait. La subordination n'est donc jamais une obligation d'obéissance absolue. == L'obligation de bonne foi == L'article L. 1222-1 du Code du travail dispose que : : « Le contrat de travail est exécuté de bonne foi. »<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref> Cette obligation s'impose aussi bien au salarié qu'à l'employeur. == L'obligation de loyauté == Le salarié est tenu d'une obligation de loyauté envers son employeur pendant l'exécution du contrat. Il ne peut notamment pas : * exercer une activité concurrente déloyale ; * détourner la clientèle de son employeur ; * utiliser frauduleusement certaines informations appartenant à l'entreprise ; * commettre des actes portant volontairement atteinte aux intérêts de son employeur. L'obligation de loyauté doit cependant être conciliée avec les droits fondamentaux et les libertés du salarié. == L'obligation de discrétion ou de confidentialité == Certaines fonctions peuvent imposer au salarié de ne pas révéler des informations confidentielles auxquelles il a accès. Cette obligation ne peut toutefois servir à empêcher un salarié d'exercer les droits que la loi lui reconnaît, notamment en matière d'alerte ou de témoignage lorsque les conditions légales sont réunies. = Neuvième partie : Les différentes catégories de salariés = Tous les salariés ne sont pas placés dans une situation juridique identique. Ils peuvent notamment être distingués selon : == La nature du contrat == * salarié en [[Contrat de travail à durée indéterminée|CDI]] ; * salarié en [[Contrat de travail à durée déterminée|CDD]] ; * salarié temporaire ; * apprenti ; * salarié titulaire de certains contrats particuliers. == La durée du travail == On distingue notamment : * salarié à temps complet ; * salarié à temps partiel ; * salarié soumis à un forfait en heures ; * salarié soumis à un forfait en jours lorsque les conditions légales sont réunies. == La classification professionnelle == Les conventions collectives peuvent notamment distinguer : * ouvriers ; * employés ; * techniciens ; * agents de maîtrise ; * cadres. Ces classifications peuvent avoir des conséquences sur : * la rémunération minimale ; * la période d'essai ; * le préavis ; * certains avantages conventionnels. La qualité de cadre ne supprime cependant pas la qualité de salarié ni nécessairement l'existence d'un lien de subordination. = Dixième partie : Le salarié protégé = Certains salariés bénéficient d'une protection particulière en raison de fonctions représentatives ou syndicales. Le Code du travail regroupe ces protections notamment aux articles L. 2411-1 et suivants<ref>Code du travail, art. L. 2411-1 et suivants.</ref>. Sont notamment susceptibles de bénéficier d'une protection : * les membres élus du [[Comité social et économique|CSE]] ; * les délégués syndicaux ; * les représentants syndicaux au CSE ; * certains représentants de proximité ; * certains candidats aux élections professionnelles ; * certains anciens représentants pendant une durée déterminée par la loi ; * d'autres titulaires de mandats expressément prévus par le Code du travail. Le licenciement d'un salarié protégé ne relève pas uniquement de la procédure ordinaire. Il nécessite en principe une '''autorisation de l'inspecteur du travail'''. Cette protection n'interdit pas tout licenciement : elle soumet la rupture à un contrôle administratif particulier destiné notamment à vérifier que la mesure envisagée n'est pas liée à l'exercice du mandat. = Onzième partie : Le contentieux de la qualité de salarié = == La compétence du conseil de prud'hommes == Le [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]] règle les litiges individuels qui naissent à l'occasion d'un contrat de travail relevant du Code du travail<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Une difficulté particulière se présente lorsque l'existence même du contrat de travail est contestée. Le juge prud'homal peut alors devoir déterminer s'il existe une relation salariée pour apprécier sa propre compétence. == La requalification == Un travailleur présenté comme indépendant peut saisir la juridiction afin de demander la '''requalification''' de sa relation en contrat de travail. Lorsque le contrat de travail est reconnu, les conséquences peuvent être importantes. Selon les demandes formulées et la situation, elles peuvent notamment concerner : * les salaires ; * les heures supplémentaires ; * les congés payés ; * les indemnités de rupture ; * l'indemnité pour travail dissimulé lorsque les conditions légales sont établies ; * les cotisations sociales ; * l'application d'une convention collective ; * la régularité de la rupture ; * l'ancienneté. La requalification ne constitue donc pas simplement un changement de vocabulaire : elle peut modifier profondément le régime juridique applicable à la relation. = Douzième partie : Méthodologie du cas pratique = Lorsqu'un cas pratique demande de déterminer si une personne est salariée, le raisonnement peut être organisé en plusieurs étapes. == Étape 1 : rechercher une règle spéciale == Il faut commencer par rechercher l'existence : * d'une présomption légale de salariat ; * d'une présomption de non-salariat ; * d'un statut professionnel particulier. Exemple : journaliste professionnel, artiste du spectacle, mannequin ou personne immatriculée comme entrepreneur. == Étape 2 : identifier une prestation de travail == Il faut déterminer : * quelle activité est exercée ; * pour le compte de qui ; * dans quelles conditions. == Étape 3 : rechercher une rémunération == Il faut identifier la contrepartie économique de la prestation. Le nom donné au paiement importe peu. == Étape 4 : rechercher le lien de subordination == Il faut appliquer la grille : {| class="wikitable" ! Pouvoir ! Questions à poser |- | '''Direction''' | Qui fixe les règles, les horaires, les missions ou les modalités d'exécution ? |- | '''Contrôle''' | Qui vérifie l'activité ? Existe-t-il un suivi, des comptes rendus, une géolocalisation ou des évaluations ? |- | '''Sanction''' | Existe-t-il des avertissements, pénalités, suspensions, exclusions ou désactivations en cas de manquement ? |} == Étape 5 : raisonner sur les faits réels == Il ne faut jamais conclure uniquement à partir : * du titre du contrat ; * du statut fiscal ; * de l'immatriculation ; * de la volonté exprimée par les parties. Il faut analyser les '''conditions effectives d'exercice'''. == Étape 6 : conclure juridiquement == La conclusion doit être nuancée. Exemple : : « Bien que M. X soit immatriculé comme entrepreneur individuel, la société fixe ses horaires et ses tarifs, contrôle en temps réel son activité et peut suspendre son compte en cas de non-respect de ses directives. Ces éléments sont susceptibles de caractériser les pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction constitutifs d'un lien de subordination. La présomption de non-salariat pourrait donc être renversée et la relation requalifiée en contrat de travail. » = Cas pratique = Une société exploite une application de livraison. Paul est enregistré comme micro-entrepreneur. Il signe un contrat intitulé « contrat de partenariat indépendant ». Il peut décider chaque semaine s'il souhaite travailler. Lorsqu'il se connecte : * le prix des livraisons est fixé par la plateforme ; * l'application lui indique l'itinéraire ; * sa position est suivie par GPS ; * son temps de livraison est enregistré ; * le refus répété de certaines commandes fait diminuer son classement ; * plusieurs mauvaises évaluations peuvent provoquer une suspension de son compte ; * des manquements répétés peuvent entraîner sa désactivation définitive. '''Question :''' Paul est-il nécessairement un travailleur indépendant ? === Proposition de correction === Non. Son immatriculation crée éventuellement une présomption de non-salariat dans les conditions prévues par l'article L. 8221-6 du Code du travail, mais cette présomption peut être renversée. Il faut rechercher les conditions réelles dans lesquelles son activité est exercée. La possibilité de choisir librement de se connecter constitue un indice d'autonomie. Toutefois, une fois connecté : * la plateforme fixe le prix ; * elle organise l'activité ; * elle contrôle l'exécution au moyen de la géolocalisation ; * elle évalue le comportement du travailleur ; * elle dispose de mécanismes de sanction pouvant aller jusqu'à la désactivation. Ces éléments sont susceptibles de caractériser les trois pouvoirs identifiés par la jurisprudence : '''direction, contrôle et sanction'''. Le juge pourrait donc, selon l'ensemble des circonstances, reconnaître l'existence d'un contrat de travail. Cette analyse s'inscrit notamment dans la jurisprudence ''Take Eat Easy'' et ''Uber''. = Synthèse = {| class="wikitable" ! Notion ! Principe |- | '''Salarié''' | Personne fournissant une prestation rémunérée dans un lien de subordination |- | '''Critère essentiel''' | Lien de subordination juridique |- | '''Arrêt de référence''' | Cass. soc., 13 novembre 1996, ''Société Générale'', n° 94-13.187 |- | '''Subordination''' | Pouvoir de direction + contrôle + sanction |- | '''Qualification du contrat''' | Les conditions réelles de travail priment sur le nom donné au contrat |- | '''Indépendant immatriculé''' | Présomption de non-salariat pouvant être renversée |- | '''Stagiaire''' | N'est pas en principe salarié |- | '''Apprenti''' | Salarié titulaire d'un contrat de travail particulier |- | '''Mandataire social''' | N'est pas automatiquement salarié ; cumul possible sous conditions |- | '''Assimilé salarié''' | Notion de protection sociale ne suffisant pas à établir un contrat de travail |- | '''Contrat apparent''' | Celui qui prétend qu'il est fictif doit en rapporter la preuve |- | '''Juridiction principale''' | Conseil de prud'hommes |} = Questions de révision = # Quels sont les trois éléments traditionnellement constitutifs du contrat de travail ? # Comment la Cour de cassation définit-elle le lien de subordination ? # Pourquoi l'intégration dans un service organisé n'est-elle pas, à elle seule, suffisante ? # La volonté des parties peut-elle empêcher une requalification en contrat de travail ? # Quelle est la différence entre dépendance économique et subordination juridique ? # Quelle présomption l'article L. 8221-6 du Code du travail instaure-t-il ? # Un micro-entrepreneur peut-il être reconnu comme salarié ? # Quelle différence existe-t-il entre un salarié et un « assimilé salarié » ? # Un apprenti est-il juridiquement salarié ? # Un stagiaire est-il nécessairement salarié ? # Quelles conditions permettent à un mandataire social de cumuler son mandat avec un contrat de travail ? # À qui incombe la preuve lorsqu'un contrat de travail apparent existe ? # Quels enseignements peut-on tirer des arrêts ''Take Eat Easy'' et ''Uber'' ? # Quelle juridiction est en principe compétente pour les litiges individuels relatifs au contrat de travail ? # En quoi consiste la protection d'un salarié protégé ? = Jurisprudence fondamentale à connaître = * '''Cass. soc., 13 novembre 1996, n° 94-13.187, ''Société Générale''''' : définition moderne du lien de subordination. * '''Cass. soc., 19 décembre 2000, n° 98-40.572, ''Labbane''''' : les conditions réelles d'exercice de l'activité priment sur la qualification donnée par les parties. * '''Cass. soc., 28 novembre 2018, n° 17-20.079, ''Take Eat Easy''''' : contrôle par géolocalisation et pouvoir de sanction d'une plateforme. * '''Cass. soc., 4 mars 2020, n° 19-13.316, ''Uber''''' : reconnaissance d'un lien de subordination dans certaines conditions d'activité d'un chauffeur de plateforme. * '''Cass. soc., 9 avril 2026, n° 25-10.247''' : rappel qu'en présence d'un contrat de travail apparent, celui qui en invoque le caractère fictif doit en rapporter la preuve. = Principaux textes à connaître = * Code du travail, art. '''L. 1121-1''' : droits et libertés dans l'entreprise. * Code du travail, art. '''L. 1132-1''' : interdiction des discriminations. * Code du travail, art. '''L. 1221-1''' : contrat de travail et droit commun. * Code du travail, art. '''L. 1222-1''' : exécution de bonne foi. * Code du travail, art. '''L. 1411-1 et L. 1411-2''' : compétence du conseil de prud'hommes. * Code du travail, art. '''L. 2411-1 et suivants''' : salariés protégés. * Code du travail, art. '''L. 4111-5''' : notion de travailleur en matière de santé et sécurité. * Code du travail, art. '''L. 4122-1''' : obligations du travailleur en matière de sécurité. * Code du travail, art. '''L. 6221-1''' : contrat d'apprentissage. * Code du travail, art. '''L. 7112-1''' : présomption de salariat des journalistes professionnels. * Code du travail, art. '''L. 7121-3''' : artistes du spectacle. * Code du travail, art. '''L. 7123-3 et suivants''' : mannequins. * Code du travail, art. '''L. 8221-6''' : présomption de non-salariat et possibilité d'établir un lien de subordination. * Code de la sécurité sociale, art. '''L. 311-3''' : personnes rattachées au régime général. = Notes et références = <references /> = Voir aussi = * [[Droit du travail en France]] * [[Contrat de travail en France]] * [[Employeur]] * [[Lien de subordination]] * [[Travailleur indépendant]] * [[Contrat de travail à durée indéterminée]] * [[Contrat de travail à durée déterminée]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Comité social et économique]] * [[Droit de grève en France]] * [[Discrimination à l'embauche]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7n1f7nnvtwnl7jdmu0at4h7z3k8zpzz 2 87387 987275 987151 2026-10-11T21:16:50Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Employeur]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Employeur]] 987151 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> L''''employeur''' est la personne physique ou morale pour le compte de laquelle un [[salarié]] accomplit une prestation de travail dans le cadre d'un [[contrat de travail en France|contrat de travail]]. Il constitue, avec le salarié, l'une des deux parties à la relation individuelle de travail. Il verse la rémunération convenue et dispose, en raison du [[Lien de subordination|lien de subordination juridique]], de pouvoirs de direction, de contrôle et de sanction. Ces pouvoirs sont toutefois encadrés par la loi, les conventions et accords collectifs, le contrat de travail, les droits fondamentaux des salariés et le contrôle du juge. La notion d'employeur ne doit pas être confondue avec celles de '''chef d'entreprise''', de '''dirigeant''', d''''entreprise''', d''''établissement''' ou de '''groupe de sociétés'''. Lorsque l'employeur est une personne morale, telle qu'une société ou une association, c'est en principe cette personne morale qui est partie au contrat de travail, même si ses pouvoirs sont concrètement exercés par ses représentants. == Objectifs pédagogiques == À l'issue de ce cours, l'étudiant doit être capable de : * définir juridiquement la notion d'employeur ; * identifier l'employeur véritable dans une relation de travail ; * distinguer employeur, entreprise, établissement, dirigeant et groupe de sociétés ; * comprendre la notion de coemploi ; * identifier les pouvoirs de direction, de contrôle, réglementaire et disciplinaire de l'employeur ; * connaître les limites juridiques de ces pouvoirs ; * identifier les principales obligations résultant du contrat de travail ; * connaître les obligations de l'employeur en matière de santé, de sécurité, de discrimination, de harcèlement et de formation ; * comprendre les obligations collectives liées à la représentation du personnel ; * distinguer les responsabilités civiles, pénales et administratives susceptibles d'incomber à l'employeur ; * analyser les conséquences d'un changement d'employeur ; * résoudre un cas pratique relatif à l'identification de l'employeur ou à l'exercice de ses pouvoirs. = Première partie : La notion d'employeur = == Chapitre 1 : Définition == Le [[Code du travail (France)|Code du travail]] utilise très fréquemment le terme « employeur » mais n'en fournit pas une définition générale unique. L'employeur peut être défini comme la '''personne qui conclut un contrat de travail avec un salarié et sous l'autorité de laquelle celui-ci accomplit une prestation de travail en contrepartie d'une rémunération'''. L'identification de l'employeur est ainsi étroitement liée à celle du contrat de travail. Dans son arrêt ''Société Générale'' du 13 novembre 1996, la [[Cour de cassation (France)|Cour de cassation]] définit le lien de subordination comme l'exécution d'un travail sous l'autorité d'un employeur qui dispose du pouvoir : * de donner des ordres et des directives ; * d'en contrôler l'exécution ; * de sanctionner les manquements de son subordonné<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 13 novembre 1996, n° 94-13.187, publié au Bulletin.</ref>. Cette définition permet d'identifier non seulement le salarié, mais également les principales prérogatives caractéristiques de l'employeur. == Chapitre 2 : Les différentes catégories d'employeurs == === L'employeur personne physique === Une personne physique peut directement employer un ou plusieurs salariés. Il peut notamment s'agir : * d'un entrepreneur individuel ; * d'un professionnel libéral employant du personnel ; * d'un commerçant ; * d'un artisan ; * d'un agriculteur ; * d'un particulier employeur. Dans ce cas, la personne physique est elle-même partie au contrat de travail. === L'employeur personne morale === L'employeur peut également être une [[Personne morale|personne morale]]. Il peut notamment s'agir : * d'une société commerciale ; * d'une société civile ; * d'une association ; * d'une fondation ; * d'une mutuelle ; * d'un syndicat ; * de certains organismes ou établissements publics employant du personnel de droit privé. La personne morale est alors juridiquement l'employeur. Le président, le gérant, le directeur général ou le responsable des ressources humaines n'est pas pour cette seule raison l'employeur personnel du salarié : il agit en principe au nom de la personne morale. === Les personnes publiques employant des salariés de droit privé === L'article L. 1111-1 du Code du travail prévoit que les dispositions concernées sont applicables aux employeurs de droit privé et à leurs salariés. Elles sont également applicables au personnel des personnes publiques lorsqu'il est employé dans les conditions du droit privé, sous réserve des dispositions particulières résultant de son statut<ref>Code du travail, art. L. 1111-1.</ref>. Une personne publique peut donc, dans certaines situations, être employeur de salariés relevant du droit privé. Il ne faut donc pas déduire du seul caractère public de l'employeur que la relation échappe nécessairement au droit du travail. === Le particulier employeur === Le particulier employeur constitue une catégorie particulière. L'article L. 7221-1 du Code du travail vise la personne qui emploie un ou plusieurs salariés à son domicile privé ou à proximité de celui-ci, sans poursuivre de but lucratif et afin de satisfaire des besoins relevant de sa vie personnelle ou familiale<ref>Code du travail, art. L. 7221-1.</ref>. Le régime applicable tient notamment compte de la spécificité d'une relation de travail qui s'exerce au domicile privé de l'employeur. == Chapitre 3 : Employeur, entreprise et établissement == Ces notions doivent être distinguées. === L'entreprise === L''''entreprise''' est principalement une notion économique et sociale. Elle correspond à une organisation de moyens humains, matériels et financiers consacrée à une activité. Elle ne possède pas nécessairement, en tant que telle, une personnalité juridique distincte. Une société peut constituer une entreprise, mais les deux notions ne sont pas synonymes. === L'établissement === L''''établissement''' constitue généralement une unité géographique ou organisationnelle appartenant à une entreprise. Une même société peut ainsi exploiter plusieurs établissements. Le salarié qui travaille dans un établissement déterminé reste normalement lié par son contrat à la personne juridique qui l'emploie. === Le chef d'entreprise === Le '''chef d'entreprise''' exerce les prérogatives attachées à la direction de l'entreprise. Lorsque l'entreprise est exploitée par une personne morale, le chef d'entreprise peut être son représentant sans être personnellement partie aux contrats de travail. {{Citation bloc|L'employeur est une notion juridique ; l'entreprise est principalement une organisation économique et sociale.}} = Deuxième partie : L'identification de l'employeur véritable = == Chapitre 1 : Le principe == Dans la plupart des relations de travail, l'identification de l'employeur ne pose aucune difficulté : il s'agit de la personne mentionnée dans le contrat de travail et sur les bulletins de paie. Toutefois, des difficultés peuvent apparaître lorsque plusieurs personnes ou sociétés participent à l'organisation du travail. Le juge peut alors notamment rechercher : * qui a recruté le salarié ; * qui verse la rémunération ; * qui donne les ordres et les directives ; * qui organise le travail ; * qui contrôle l'activité ; * qui décide des congés ; * qui évalue le salarié ; * qui exerce le pouvoir disciplinaire ; * qui peut décider de rompre la relation. Le critère du pouvoir patronal joue alors un rôle déterminant. == Chapitre 2 : Le groupe de sociétés == L'appartenance de plusieurs sociétés à un même [[Groupe de sociétés|groupe]] ne leur fait pas perdre leur personnalité juridique propre. En principe, le salarié d'une filiale n'est donc pas automatiquement salarié de la société mère. Le fait qu'une société mère : * contrôle le capital de la filiale ; * détermine la stratégie générale du groupe ; * fournisse des services administratifs ; * centralise certaines fonctions ; * exerce une influence économique importante ne suffit pas, à lui seul, à lui conférer la qualité d'employeur des salariés de sa filiale. == Chapitre 3 : Le coemploi == Le '''coemploi''' permet exceptionnellement de reconnaître qu'une personne ou une société autre que l'employeur contractuel doit également être considérée comme employeur. Il peut tout d'abord résulter de l'existence d'un véritable '''lien de subordination''' entre le salarié et une seconde société. En matière de groupes de sociétés, la Cour de cassation a également développé un critère particulier. Dans un arrêt du 25 novembre 2020, elle juge que, hors l'existence d'un lien de subordination, une société appartenant à un groupe ne peut être qualifiée de coemployeur que lorsqu'existe, au-delà de la coordination normale des sociétés du groupe et de la domination économique résultant de cette appartenance, une : : '''immixtion permanente dans la gestion économique et sociale de la société employeur conduisant à la perte totale d'autonomie d'action de celle-ci'''<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 25 novembre 2020, n° 18-13.769, publié au Bulletin.</ref>. Le coemploi au sein d'un groupe présente donc un caractère '''exceptionnel'''. La Cour de cassation a encore appliqué ce critère dans sa jurisprudence récente<ref>Voir notamment Cour de cassation, chambre sociale, 28 janvier 2026, n° 23-23.949.</ref>. Il faut donc distinguer : {| class="wikitable" ! Situation ! Conséquence |- | Coordination normale entre sociétés d'un groupe | Pas de coemploi |- | Domination économique d'une société mère | Insuffisante à elle seule |- | Services communs de ressources humaines ou de gestion | Insuffisants à eux seuls |- | Lien direct de subordination avec une autre société | Peut caractériser un coemploi |- | Immixtion permanente conduisant à la perte totale d'autonomie de l'employeur | Peut caractériser le coemploi |} == Chapitre 4 : L'unité économique et sociale == L'[[Unité économique et sociale|unité économique et sociale]] (UES) permet de regrouper plusieurs entités juridiquement distinctes pour l'application de certaines règles de représentation collective. La reconnaissance d'une UES ne signifie toutefois pas que celle-ci devient automatiquement l'employeur de tous les salariés concernés. La Cour de cassation a notamment jugé qu'une UES ne se substitue pas, par elle-même, aux sociétés qui la composent et qu'elle ne peut se voir attribuer artificiellement la qualité d'employeur unique en l'absence des conditions permettant cette qualification<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 16 décembre 2008, n° 07-43.875.</ref>. Ainsi : : '''UES ≠ employeur unique ≠ coemploi'''. Ces notions répondent à des objectifs juridiques distincts. == Chapitre 5 : Le travail temporaire == Le [[Travail temporaire en droit français|travail temporaire]] constitue une relation triangulaire. Elle met en présence : * le salarié temporaire ; * l'entreprise de travail temporaire ; * l'entreprise utilisatrice. L'entreprise de travail temporaire est l'employeur du salarié intérimaire. L'entreprise utilisatrice exerce néanmoins pendant la mission une partie importante de l'autorité fonctionnelle sur le travailleur et assume certaines obligations, notamment en matière de conditions d'exécution du travail et de santé et sécurité. Il ne faut donc pas confondre : * l''''employeur contractuel''' ; * l''''entreprise dans laquelle le travail est matériellement exécuté'''. == Chapitre 6 : Sous-traitance et mise à disposition == Le salarié d'un sous-traitant reste en principe salarié de ce sous-traitant. Le donneur d'ordre ne devient pas automatiquement son employeur du seul fait : * qu'il contrôle le résultat de la prestation ; * que le salarié intervient dans ses locaux ; * qu'il fixe les caractéristiques du marché. La situation doit cependant être examinée différemment lorsque le donneur d'ordre exerce personnellement sur le travailleur les pouvoirs caractéristiques du lien de subordination. = Troisième partie : Les pouvoirs de l'employeur = Le contrat de travail place le salarié dans un lien de subordination. Celui-ci justifie l'existence de plusieurs pouvoirs au bénéfice de l'employeur. Ces pouvoirs ne sont jamais absolus. == Chapitre 1 : Le pouvoir de direction == Le '''pouvoir de direction''' permet à l'employeur d'organiser le fonctionnement de l'entreprise et l'activité des salariés. Dans les limites du contrat de travail et de la loi, il peut notamment : * déterminer l'organisation du travail ; * répartir les tâches ; * donner des instructions ; * déterminer certaines méthodes de travail ; * fixer des objectifs ; * organiser les horaires dans les limites applicables ; * contrôler la bonne exécution du travail ; * procéder à l'évaluation professionnelle du salarié. Le salarié doit en principe respecter les instructions licites de l'employeur. Le pouvoir de direction trouve toutefois ses limites dans : * le contrat de travail ; * la loi ; * les règlements ; * les conventions et accords collectifs ; * les droits et libertés fondamentaux ; * le principe de non-discrimination ; * l'exigence de bonne foi. == Chapitre 2 : Pouvoir de direction et modification du contrat == Le pouvoir de direction ne permet pas à l'employeur de modifier librement le contrat de travail. Il faut distinguer : === Le changement des conditions de travail === Une mesure relevant simplement des conditions de travail peut, en principe, être décidée par l'employeur dans l'exercice de son pouvoir de direction. === La modification du contrat de travail === Lorsqu'une mesure modifie un élément contractuel nécessitant l'accord du salarié, l'employeur ne peut en principe l'imposer unilatéralement. Cela peut notamment concerner, selon les circonstances : * la rémunération contractuelle ; * la qualification professionnelle ; * la durée contractuelle du travail ; * certains changements de lieu de travail ; * un élément que les parties ont expressément contractualisé. La frontière entre modification du contrat et simple changement des conditions de travail constitue une question majeure du contentieux prud'homal. == Chapitre 3 : Le pouvoir de contrôle == L'employeur peut contrôler l'activité professionnelle de ses salariés. Ce pouvoir peut notamment prendre la forme : * d'un contrôle hiérarchique ; * de comptes rendus ; * d'objectifs et d'indicateurs ; * de dispositifs informatiques ; * de systèmes de pointage ; * de vidéosurveillance ; * de géolocalisation, lorsque les conditions légales sont réunies. Le contrôle est néanmoins encadré. L'article L. 1222-4 du Code du travail prévoit qu'aucune information concernant personnellement un salarié ne peut être collectée par un dispositif qui n'a pas été préalablement porté à sa connaissance<ref>Code du travail, art. L. 1222-4.</ref>. Les méthodes d'évaluation professionnelle doivent également être portées à la connaissance du salarié et être pertinentes au regard de leur finalité<ref>Code du travail, art. L. 1222-2 et L. 1222-3.</ref>. L'employeur doit également respecter les règles relatives à la protection des données personnelles. == Chapitre 4 : Le pouvoir réglementaire == L'employeur dispose d'un pouvoir normatif interne limité. Celui-ci se manifeste principalement par le '''règlement intérieur'''. L'article L. 1321-1 du Code du travail prévoit notamment que le règlement intérieur fixe : * les mesures d'application de la réglementation en matière de santé et de sécurité ; * certaines conditions relatives au rétablissement de conditions de travail protectrices ; * les règles générales et permanentes relatives à la discipline ; * la nature et l'échelle des sanctions pouvant être prononcées<ref>Code du travail, art. L. 1321-1.</ref>. === Seuil d'établissement du règlement intérieur === Le règlement intérieur est obligatoire dans les entreprises ou établissements employant au moins '''cinquante salariés'''. Cette obligation s'applique au terme d'un délai de douze mois à compter de l'atteinte du seuil<ref>Code du travail, art. L. 1311-2.</ref>. === Procédure === Depuis le 28 mai 2026, le règlement intérieur ne peut être introduit qu'après avoir été soumis à l'avis du [[Comité social et économique|CSE]]. Il indique sa date d'entrée en vigueur, laquelle doit être postérieure d'au moins un mois à l'accomplissement des formalités de publicité. Le règlement intérieur accompagné de l'avis du CSE est communiqué à l'inspecteur du travail<ref>Code du travail, art. L. 1321-4.</ref>. == Chapitre 5 : Le pouvoir disciplinaire == Le pouvoir disciplinaire constitue l'une des manifestations les plus caractéristiques de la qualité d'employeur. L'article L. 1331-1 définit la sanction comme toute mesure, autre que les observations verbales, prise par l'employeur à la suite d'un comportement du salarié qu'il considère comme fautif et susceptible d'affecter sa présence dans l'entreprise, sa fonction, sa carrière ou sa rémunération<ref>Code du travail, art. L. 1331-1.</ref>. Les sanctions peuvent notamment comprendre, selon les textes applicables : * avertissement ; * blâme ; * mise à pied disciplinaire ; * mutation disciplinaire ; * rétrogradation ; * licenciement disciplinaire. Les sanctions pécuniaires sont interdites<ref>Code du travail, art. L. 1331-2.</ref>. Le pouvoir disciplinaire est soumis : * à des délais ; * à une procédure ; * au principe de proportionnalité ; * aux règles du règlement intérieur lorsqu'il est applicable ; * au contrôle du conseil de prud'hommes. = Quatrième partie : Les limites aux pouvoirs de l'employeur = == Chapitre 1 : Les droits et libertés fondamentaux == Le salarié demeure titulaire de ses droits fondamentaux dans l'entreprise. L'article L. 1121-1 du Code du travail dispose : : « Nul ne peut apporter aux droits des personnes et aux libertés individuelles et collectives de restrictions qui ne seraient pas justifiées par la nature de la tâche à accomplir ni proportionnées au but recherché. »<ref>Code du travail, art. L. 1121-1.</ref> Deux conditions doivent donc être réunies : # la restriction doit être '''justifiée''' ; # elle doit être '''proportionnée'''. Ce mécanisme constitue un contrôle essentiel des décisions patronales. == Chapitre 2 : Le principe de non-discrimination == L'employeur ne peut fonder ses décisions sur les critères discriminatoires prohibés par la loi. L'article L. 1132-1 interdit notamment les discriminations concernant : * le recrutement ; * la rémunération ; * la formation ; * l'affectation ; * la qualification ; * la classification ; * la promotion ; * les horaires ; * l'évaluation ; * la mutation ; * le renouvellement du contrat ; * la sanction ; * le licenciement<ref>Code du travail, art. L. 1132-1.</ref>. Le pouvoir de gestion du personnel ne constitue donc jamais un pouvoir discrétionnaire. == Chapitre 3 : Le respect de la vie personnelle == Le salarié conserve le droit au respect de sa vie privée et personnelle. L'employeur doit notamment respecter les règles relatives : * au secret des correspondances ; * aux données personnelles ; * aux dispositifs de surveillance ; * aux informations personnelles demandées au salarié ; * aux libertés individuelles. Le contrôle de l'activité professionnelle doit être concilié avec ces droits. = Cinquième partie : Les obligations de l'employeur lors de l'embauche = == Chapitre 1 : Les limites au recrutement == L'employeur est en principe libre de choisir la personne qu'il souhaite recruter, mais cette liberté est fortement encadrée. Les informations demandées au candidat ne peuvent avoir pour finalité que d'apprécier sa capacité à occuper l'emploi proposé ou ses aptitudes professionnelles. Elles doivent présenter un lien direct et nécessaire avec l'emploi ou l'évaluation des aptitudes professionnelles<ref>Code du travail, art. L. 1221-6.</ref>. Les méthodes de recrutement doivent également respecter les règles prévues par le Code du travail. La discrimination à l'embauche est interdite. == Chapitre 2 : La déclaration préalable à l'embauche == L'article L. 1221-10 prévoit que l'embauche d'un salarié ne peut intervenir qu'après l'accomplissement par l'employeur d'une '''déclaration préalable à l'embauche''' auprès des organismes compétents<ref>Code du travail, art. L. 1221-10.</ref>. Cette déclaration constitue notamment un instrument de lutte contre le [[Travail dissimulé en France|travail dissimulé]]. == Chapitre 3 : L'information du salarié == L'employeur doit remettre au salarié un ou plusieurs documents écrits contenant les informations principales relatives à la relation de travail<ref>Code du travail, art. L. 1221-5-1.</ref>. Ces informations concernent notamment : * l'identité des parties ; * le lieu de travail ; * l'emploi occupé ; * la date d'embauche ; * la rémunération ; * la durée du travail ; * les congés ; * la période d'essai éventuelle ; * la convention collective applicable ; * certaines règles relatives à la rupture. Certaines informations doivent être communiquées au plus tard dans les sept jours calendaires suivant l'embauche, les autres au plus tard dans un délai d'un mois<ref>Code du travail, art. R. 1221-34 et R. 1221-35.</ref>. = Sixième partie : Les obligations résultant de l'exécution du contrat = == Chapitre 1 : L'obligation de bonne foi == L'article L. 1222-1 du Code du travail dispose : : « Le contrat de travail est exécuté de bonne foi. »<ref>Code du travail, art. L. 1222-1.</ref> Cette règle s'impose à l'employeur comme au salarié. L'employeur ne peut donc user de ses pouvoirs de manière déloyale ou détournée. == Chapitre 2 : Fournir le travail convenu == L'employeur doit permettre au salarié d'exécuter le travail prévu au contrat. Il doit lui fournir les moyens nécessaires à l'accomplissement de ses fonctions, sous réserve des particularités propres à certains emplois ou modes d'organisation. La privation injustifiée de travail peut engager sa responsabilité. == Chapitre 3 : Verser la rémunération == L'une des obligations essentielles de l'employeur consiste à verser la rémunération due au salarié. Il doit respecter : * le salaire contractuel ; * le [[Salaire minimum interprofessionnel de croissance|SMIC]] ; * les minima conventionnels applicables ; * les règles relatives aux majorations ; * le principe d'égalité de traitement ; * les règles relatives à l'égalité de rémunération entre les femmes et les hommes. L'article L. 3221-2 prévoit que tout employeur assure, pour un même travail ou un travail de valeur égale, l'égalité de rémunération entre les femmes et les hommes<ref>Code du travail, art. L. 3221-2.</ref>. == Chapitre 4 : Respecter la durée du travail et les repos == L'employeur doit organiser le travail dans le respect : * des durées maximales de travail ; * du repos quotidien ; * du repos hebdomadaire ; * des congés payés ; * des règles particulières relatives au travail de nuit ; * des règles particulières concernant certains salariés protégés ou vulnérables. Le fait que le salarié accepte de travailler au-delà des limites légales ne libère pas nécessairement l'employeur de ses obligations. = Septième partie : L'obligation de santé et de sécurité = == Chapitre 1 : Le principe == L'article L. 4121-1 du Code du travail impose à l'employeur de prendre les mesures nécessaires pour assurer la sécurité et protéger la '''santé physique et mentale''' des travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-1.</ref>. Ces mesures comprennent : * des actions de prévention des risques professionnels ; * des actions d'information et de formation ; * la mise en place d'une organisation et de moyens adaptés. L'employeur doit adapter ces mesures pour tenir compte de l'évolution des circonstances et tendre à l'amélioration des situations existantes. == Chapitre 2 : Les principes généraux de prévention == L'employeur doit notamment : * éviter les risques ; * évaluer ceux qui ne peuvent être évités ; * combattre les risques à la source ; * adapter le travail à l'homme ; * tenir compte de l'évolution de la technique ; * remplacer ce qui est dangereux par ce qui l'est moins ; * planifier la prévention ; * donner la priorité aux mesures de protection collective ; * donner des instructions appropriées aux travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-2.</ref>. == Chapitre 3 : L'évaluation des risques == L'employeur doit évaluer les risques pour la santé et la sécurité des travailleurs<ref>Code du travail, art. L. 4121-3.</ref>. Les résultats de cette évaluation sont transcrits dans le '''document unique d'évaluation des risques professionnels''' (DUERP)<ref>Code du travail, art. L. 4121-3-1 et R. 4121-1.</ref>. Le DUERP répertorie les risques auxquels sont exposés les travailleurs et participe à leur prévention. == Chapitre 4 : Obligation de prévention et jurisprudence == La jurisprudence a longtemps qualifié l'obligation de sécurité d'« obligation de sécurité de résultat ». À partir notamment de l'arrêt dit ''Air France'' du 25 novembre 2015, la Cour de cassation a mis davantage l'accent sur les mesures de prévention effectivement prises par l'employeur<ref>Cour de cassation, chambre sociale, 25 novembre 2015, n° 14-24.444, publié au Bulletin.</ref>. L'analyse contemporaine ne consiste donc pas simplement à constater qu'un dommage est survenu. Il convient de rechercher si l'employeur a effectivement mis en œuvre les mesures de prévention prescrites par les articles L. 4121-1 et suivants. = Huitième partie : Harcèlement, discrimination et prévention = == Chapitre 1 : Le harcèlement moral == L'employeur doit prendre toutes dispositions nécessaires en vue de prévenir les agissements de [[Harcèlement moral en milieu professionnel|harcèlement moral]]<ref>Code du travail, art. L. 1152-4.</ref>. Cette obligation est distincte de l'interdiction faite à toute personne de commettre elle-même des faits de harcèlement. L'employeur peut donc voir sa responsabilité recherchée notamment lorsque les mesures de prévention nécessaires n'ont pas été prises. == Chapitre 2 : Le harcèlement sexuel == L'employeur doit prendre toutes dispositions nécessaires afin : * de prévenir les faits de harcèlement sexuel ; * d'y mettre un terme ; * de les sanctionner<ref>Code du travail, art. L. 1153-5.</ref>. Dans les entreprises employant au moins 250 salariés, un référent chargé d'orienter, d'informer et d'accompagner les salariés en matière de lutte contre le harcèlement sexuel et les agissements sexistes doit être désigné<ref>Code du travail, art. L. 1153-5-1.</ref>. = Neuvième partie : L'obligation d'adaptation et de formation = L'employeur doit assurer l'adaptation des salariés à leur poste de travail. Il doit également veiller au maintien de leur capacité à occuper un emploi au regard notamment de l'évolution : * des emplois ; * des technologies ; * des organisations<ref>Code du travail, art. L. 6321-1.</ref>. Depuis la modification entrée en vigueur le 26 octobre 2025, l'article L. 6321-1 mentionne également la possibilité de proposer différentes formations contribuant notamment au développement des compétences, y compris numériques. Il ne faut donc pas limiter l'obligation de l'employeur à la simple formation initiale nécessaire au poste occupé. = Dixième partie : L'employeur et les relations collectives = L'employeur n'est pas seulement partie aux relations individuelles de travail. Il constitue également un acteur central des [[Relations collectives de travail en France|relations collectives de travail]]. == Chapitre 1 : Le comité social et économique == Un [[Comité social et économique|comité social et économique]] doit être mis en place dans les entreprises employant au moins '''onze salariés''' lorsque ce seuil a été atteint pendant douze mois consécutifs<ref>Code du travail, art. L. 2311-2.</ref>. Les attributions du CSE varient selon l'effectif de l'entreprise. Dans les entreprises d'au moins cinquante salariés, ses prérogatives sont notamment plus importantes en matière : * économique ; * sociale ; * d'emploi ; * de conditions de travail ; * de santé et sécurité. == Chapitre 2 : Les consultations du CSE == Dans les entreprises concernées, l'employeur doit informer et consulter le CSE sur différentes questions prévues par le Code du travail. Les consultations récurrentes concernent notamment : # les orientations stratégiques de l'entreprise ; # sa situation économique et financière ; # sa politique sociale, les conditions de travail et l'emploi<ref>Code du travail, art. L. 2312-17.</ref>. Le Code impose également différentes consultations ponctuelles selon les décisions envisagées. Le pouvoir de décision de l'employeur est donc parfois précédé d'une obligation d'information ou de consultation des représentants du personnel. == Chapitre 3 : Les organisations syndicales == L'employeur doit respecter : * la liberté syndicale ; * le droit syndical ; * les prérogatives des délégués syndicaux ; * les règles relatives à la négociation collective ; * la protection attachée à certains mandats. Il ne peut prendre de décision discriminatoire en raison de l'activité syndicale d'un salarié. = Onzième partie : La représentation et la délégation des pouvoirs de l'employeur = == Chapitre 1 : La représentation de la personne morale == Lorsqu'une société est employeur, elle ne peut matériellement agir que par l'intermédiaire de personnes physiques. Les décisions peuvent notamment être prises par : * le représentant légal ; * un directeur ; * un responsable des ressources humaines ; * un supérieur hiérarchique ; * une personne disposant d'un mandat ou d'une délégation. Ces personnes agissent pour le compte de l'employeur. == Chapitre 2 : La délégation de pouvoirs == Dans les entreprises d'une certaine importance, le chef d'entreprise peut déléguer une partie de ses pouvoirs à un salarié ou responsable. La jurisprudence exige, pour qu'une délégation puisse notamment produire certains effets en matière de responsabilité pénale, que le délégataire dispose : * de la '''compétence''' ; * de l''''autorité''' ; * des '''moyens nécessaires''' à l'accomplissement de sa mission<ref>Cour de cassation, chambre criminelle, 11 mars 1993, n° 91-83.655, publié au Bulletin.</ref>. La délégation de pouvoirs ne se réduit donc pas à un document formel. Il faut que le délégataire possède réellement les moyens d'exercer les pouvoirs qui lui sont confiés. La preuve de la délégation n'est, en principe, soumise à aucune forme particulière, même si l'écrit facilite considérablement sa démonstration. = Douzième partie : Les responsabilités de l'employeur = L'employeur peut engager plusieurs catégories de responsabilité. == Chapitre 1 : La responsabilité contractuelle == L'employeur qui n'exécute pas correctement les obligations résultant du contrat de travail peut engager sa responsabilité. Cela peut notamment concerner : * le non-paiement du salaire ; * le non-respect du contrat ; * une modification unilatérale illicite ; * le non-respect d'une obligation conventionnelle ; * certaines violations de l'obligation de loyauté. Le conseil de prud'hommes peut notamment ordonner le paiement de sommes dues ou réparer certains préjudices lorsque les conditions de la responsabilité sont réunies. == Chapitre 2 : La responsabilité civile du commettant == L'article 1242 du Code civil prévoit notamment la responsabilité des maîtres et commettants du dommage causé par leurs préposés dans les fonctions auxquelles ils les ont employés<ref>Code civil, art. 1242.</ref>. L'employeur peut ainsi, dans certaines conditions, être civilement responsable des dommages causés par un salarié dans l'exercice de ses fonctions. == Chapitre 3 : La responsabilité pénale == Des infractions au droit du travail peuvent engager la responsabilité pénale de personnes physiques. Lorsque l'employeur est une personne morale, l'article 121-2 du Code pénal prévoit également que les personnes morales, à l'exception de l'État, sont pénalement responsables des infractions commises pour leur compte par leurs organes ou représentants<ref>Code pénal, art. 121-2.</ref>. La responsabilité pénale de la personne morale n'exclut pas nécessairement celle de la personne physique ayant personnellement participé à l'infraction. Une délégation de pouvoirs valable peut avoir des conséquences sur l'identification de la personne responsable. == Chapitre 4 : Les sanctions administratives == Certaines violations du droit du travail peuvent également donner lieu à des sanctions administratives. L'employeur peut notamment faire l'objet : * d'observations ; * de mises en demeure ; * d'amendes administratives ; * de décisions de l'inspection du travail ; * d'autres mesures prévues par des textes particuliers. Le régime applicable dépend de l'obligation méconnue. = Treizième partie : Le contrôle de l'employeur = Les pouvoirs de l'employeur sont soumis à différents contrôles. == Le conseil de prud'hommes == Le [[Conseil de prud'hommes (France)|conseil de prud'hommes]] connaît des litiges individuels nés à l'occasion d'un contrat de travail de droit privé<ref>Code du travail, art. L. 1411-1.</ref>. Il peut notamment contrôler : * certaines sanctions disciplinaires ; * le paiement des salaires ; * l'exécution du contrat ; * la modification du contrat ; * la rupture ; * les discriminations ; * les situations de harcèlement ; * l'identité de l'employeur lorsque celle-ci est contestée. == L'inspection du travail == L'[[Inspection du travail en France|inspection du travail]] veille à l'application d'une part importante de la législation du travail. Elle dispose de pouvoirs définis par le Code du travail, notamment en matière : * de contrôle ; * d'accès aux lieux de travail ; * de constatation d'infractions ; * de santé et sécurité ; * de règlement intérieur ; * de licenciement des salariés protégés. == Les juridictions pénales == Lorsqu'une violation constitue une infraction pénale, la responsabilité de l'employeur, de la personne morale ou de certaines personnes physiques peut relever des juridictions pénales. == Les juridictions administratives == Certaines décisions prises par l'administration du travail peuvent être contestées devant le juge administratif. Il en est notamment ainsi dans certains contentieux relatifs aux salariés protégés. = Quatorzième partie : Le changement d'employeur = == Chapitre 1 : Le principe de stabilité du contrat == Le contrat de travail lie normalement le salarié à un employeur déterminé. Un employeur ne peut donc, en principe, être remplacé par un autre en dehors des mécanismes prévus par la loi ou acceptés par le salarié. == Chapitre 2 : Le transfert légal du contrat == L'article L. 1224-1 du Code du travail prévoit que lorsqu'une modification intervient dans la situation juridique de l'employeur, notamment par : * succession ; * vente ; * fusion ; * transformation du fonds ; * mise en société, les contrats de travail en cours subsistent entre le nouvel employeur et le personnel concerné lorsque les conditions d'application du texte sont réunies<ref>Code du travail, art. L. 1224-1.</ref>. La jurisprudence nationale et européenne joue un rôle important dans la détermination des conditions d'application de cette règle, notamment autour de la notion de transfert d'une entité économique conservant son identité. == Chapitre 3 : Les obligations du nouvel employeur == L'article L. 1224-2 prévoit que le nouvel employeur est en principe tenu, à l'égard des salariés transférés, des obligations qui incombaient à l'ancien employeur à la date du transfert, sous réserve des exceptions prévues par la loi<ref>Code du travail, art. L. 1224-2.</ref>. Le transfert légal permet ainsi la poursuite du contrat malgré le changement de personne juridique de l'employeur. = Quinzième partie : Méthodologie du cas pratique = Lorsqu'un cas pratique porte sur l'employeur, il convient de suivre plusieurs étapes. == Étape 1 : Identifier la personne figurant au contrat == Il faut rechercher : * le nom figurant sur le contrat ; * le nom figurant sur les bulletins de paie ; * la personne ayant procédé à l'embauche ; * l'organisme effectuant les déclarations sociales. Il s'agit de l'employeur '''apparent ou contractuel'''. == Étape 2 : Identifier la personne exerçant réellement les pouvoirs patronaux == Il faut rechercher concrètement : {| class="wikitable" ! Pouvoir ! Questions |- | '''Direction''' | Qui donne les ordres ? Qui organise le travail ? |- | '''Contrôle''' | Qui évalue le salarié ? Qui contrôle ses horaires et son activité ? |- | '''Sanction''' | Qui avertit, sanctionne ou décide de la rupture ? |- | '''Gestion''' | Qui accorde les congés ? Qui décide de la rémunération et de la carrière ? |} == Étape 3 : Identifier la structure juridique == Il faut vérifier s'il s'agit : * d'une personne physique ; * d'une société ; * d'une association ; * d'une personne publique ; * d'un groupe de sociétés ; * d'une entreprise de travail temporaire ; * d'un particulier employeur. == Étape 4 : Rechercher une situation particulière == Il faut notamment rechercher : * un transfert d'entreprise ; * une mise à disposition ; * du travail temporaire ; * une UES ; * un éventuel coemploi ; * une délégation de pouvoirs. == Étape 5 : Examiner les pouvoirs exercés et leurs limites == Une fois l'employeur identifié, il faut déterminer si la décision contestée relève : * de son pouvoir de direction ; * de son pouvoir réglementaire ; * de son pouvoir disciplinaire ; puis contrôler : * le contrat ; * la loi ; * la convention collective ; * les droits fondamentaux ; * la proportionnalité ; * la procédure applicable. = Cas pratique = La société A emploie officiellement 120 salariés. Elle appartient à 100 % à la société B. La société B décide de la stratégie financière du groupe et négocie les achats communs. Les contrats de travail sont conclus par la société A et les salaires sont payés par elle. Toutefois : * le directeur de la société A doit obtenir l'accord de B avant toute embauche ; * les augmentations individuelles sont décidées par le DRH de B ; * les demandes de congés des cadres sont validées par B ; * les sanctions disciplinaires sont décidées par le service RH de B ; * le directeur de A ne peut prendre aucune décision sociale sans l'autorisation de B ; * la stratégie commerciale, les budgets, les investissements et les décisions quotidiennes sont imposés par B. Des salariés licenciés par A demandent la condamnation de B en qualité de coemployeur. '''Question : la seule appartenance au groupe permet-elle de considérer B comme coemployeur ?''' == Proposition de correction == Non. Le fait que B soit société mère de A et exerce une domination économique sur celle-ci ne suffit pas à caractériser le coemploi. Il faut appliquer le critère dégagé par la Cour de cassation. Hors lien direct de subordination entre B et les salariés, il faut rechercher une '''immixtion permanente de B dans la gestion économique et sociale de A conduisant à la perte totale d'autonomie d'action de A'''. En l'espèce : * B ne se borne pas à définir la stratégie générale ; * elle intervient dans les recrutements ; * elle décide des rémunérations ; * elle contrôle les congés ; * elle exerce en pratique le pouvoir disciplinaire ; * elle maîtrise la gestion économique ; * la direction de A semble dépourvue de réelle autonomie. Ces éléments sont susceptibles de caractériser une immixtion à la fois économique et sociale suffisamment importante pour que la question du coemploi puisse être sérieusement discutée. La conclusion définitive dépendrait toutefois de l'ensemble des faits établis devant le juge. = Synthèse = {| class="wikitable" ! Notion ! Principe |- | '''Employeur''' | Personne physique ou morale partie à la relation de travail et titulaire des pouvoirs patronaux |- | '''Personne morale''' | L'employeur est en principe la société ou l'association, non personnellement son dirigeant |- | '''Lien de subordination''' | Ordres et directives + contrôle + sanction |- | '''Pouvoir de direction''' | Organisation et gestion du travail dans les limites de la loi et du contrat |- | '''Pouvoir de contrôle''' | Contrôle de l'activité dans le respect notamment des libertés et de la vie personnelle |- | '''Pouvoir réglementaire''' | Notamment règlement intérieur |- | '''Pouvoir disciplinaire''' | Sanction des comportements considérés comme fautifs dans le respect des règles légales |- | '''Coemploi''' | Exceptionnel ; lien de subordination ou, dans un groupe, immixtion permanente entraînant la perte totale d'autonomie de l'employeur |- | '''UES''' | Ne constitue pas automatiquement un employeur unique |- | '''Santé et sécurité''' | Obligation de prévention, d'évaluation des risques et de protection de la santé physique et mentale |- | '''Formation''' | Adaptation au poste et maintien de la capacité à occuper un emploi |- | '''CSE''' | Mise en place à partir de 11 salariés lorsque le seuil est atteint pendant 12 mois consécutifs |- | '''Règlement intérieur''' | Obligatoire à partir de 50 salariés après les conditions de franchissement du seuil |- | '''Délégation de pouvoirs''' | Compétence + autorité + moyens |- | '''Transfert''' | Poursuite des contrats dans les conditions de l'article L. 1224-1 |} = Questions de révision = # Comment peut-on définir juridiquement l'employeur ? # Pourquoi employeur et chef d'entreprise ne sont-ils pas toujours la même personne ? # Une société mère est-elle automatiquement l'employeur des salariés de sa filiale ? # Quel est le critère actuel du coemploi au sein d'un groupe de sociétés ? # Qu'est-ce qu'une UES et pourquoi ne doit-elle pas être confondue avec un employeur unique ? # Quels sont les trois pouvoirs révélateurs du lien de subordination ? # Quelle différence existe-t-il entre le pouvoir de direction et le pouvoir disciplinaire ? # L'employeur peut-il modifier unilatéralement tous les éléments du contrat de travail ? # Comment le pouvoir de contrôle est-il limité ? # À partir de quel effectif le règlement intérieur est-il obligatoire ? # À partir de quel effectif le CSE doit-il être mis en place ? # Quelles sont les principales obligations de l'employeur en matière de santé et sécurité ? # Qu'est-ce que le DUERP ? # Quelles obligations l'employeur supporte-t-il en matière de prévention du harcèlement ? # En quoi consiste l'obligation d'adaptation du salarié ? # Quelles sont les conditions classiques de validité d'une délégation de pouvoirs ? # Une personne morale peut-elle être pénalement responsable ? # Quel est l'effet de l'article L. 1224-1 sur les contrats de travail ? # Quelle juridiction connaît principalement des litiges individuels entre employeur et salarié ? = Jurisprudence fondamentale à connaître = * '''Cass. soc., 13 novembre 1996, n° 94-13.187, ''Société Générale''''' : définition du lien de subordination par les pouvoirs de direction, contrôle et sanction. * '''Cass. soc., 16 décembre 2008, n° 07-43.875''' : l'UES ne devient pas, par elle-même, employeur unique des salariés des sociétés qui la composent. * '''Cass. soc., 25 novembre 2015, n° 14-24.444, ''Air France''''' : évolution de la jurisprudence relative à l'obligation de sécurité et à la prévention. * '''Cass. soc., 25 novembre 2020, n° 18-13.769''' : nouvelle définition restrictive du coemploi dans les groupes de sociétés. * '''Cass. soc., 28 janvier 2026, n° 23-23.949''' : application contemporaine des critères du coemploi. * '''Cass. crim., 11 mars 1993, n° 91-83.655''' : conditions classiques de la délégation de pouvoirs, reposant sur la compétence, l'autorité et les moyens. = Principaux textes à connaître = * Code du travail, art. '''L. 1111-1''' : champ d'application aux employeurs privés et à certains personnels des personnes publiques. * Code du travail, art. '''L. 1121-1''' : droits et libertés dans l'entreprise. * Code du travail, art. '''L. 1132-1''' : principe de non-discrimination. * Code du travail, art. '''L. 1152-4''' : prévention du harcèlement moral. * Code du travail, art. '''L. 1153-5''' : prévention et traitement du harcèlement sexuel. * Code du travail, art. '''L. 1221-5-1''' : information du salarié sur la relation de travail. * Code du travail, art. '''L. 1221-6''' : informations demandées lors du recrutement. * Code du travail, art. '''L. 1221-10''' : déclaration préalable à l'embauche. * Code du travail, art. '''L. 1222-1''' : exécution de bonne foi. * Code du travail, art. '''L. 1222-4''' : dispositifs de contrôle des salariés. * Code du travail, art. '''L. 1224-1 et L. 1224-2''' : transfert du contrat de travail. * Code du travail, art. '''L. 1311-2''' : règlement intérieur. * Code du travail, art. '''L. 1321-1 et suivants''' : contenu et adoption du règlement intérieur. * Code du travail, art. '''L. 1331-1 et suivants''' : pouvoir disciplinaire. * Code du travail, art. '''L. 2311-2''' : mise en place du CSE. * Code du travail, art. '''L. 2312-17''' : consultations récurrentes du CSE. * Code du travail, art. '''L. 3221-2''' : égalité de rémunération entre les femmes et les hommes. * Code du travail, art. '''L. 4121-1 à L. 4121-3-1''' : santé, sécurité et prévention des risques. * Code du travail, art. '''R. 4121-1''' : document unique d'évaluation des risques. * Code du travail, art. '''L. 6321-1''' : adaptation et maintien de la capacité à occuper un emploi. * Code du travail, art. '''L. 7221-1''' : particulier employeur. * Code civil, art. '''1242''' : responsabilité du commettant du fait de ses préposés. * Code pénal, art. '''121-2''' : responsabilité pénale des personnes morales. = Notes et références = <references /> = Voir aussi = * [[Droit du travail en France]] * [[Salarié]] * [[Contrat de travail en France]] * [[Lien de subordination]] * [[Entreprise]] * [[Groupe de sociétés]] * [[Unité économique et sociale]] * [[Comité social et économique]] * [[Conseil de prud'hommes (France)]] * [[Inspection du travail en France]] * [[Règlement intérieur en droit du travail français]] * [[Santé et sécurité au travail]] * [[Harcèlement moral en milieu professionnel]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> acnekvti6p5tp2ya1ddz2tcevv7g25q 3 87391 987270 2026-10-11T21:15:21Z Padarquetty 70883 Page créée avec « == Cours == Bonjour, merci de bien vouloir didactiser vos documents. Wikiversité est un site de ressources pédagogiques interactives, pas une encyclopédie. Cordialement, --~~~~ » 987270 wikitext text/x-wiki == Cours == Bonjour, merci de bien vouloir didactiser vos documents. 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Cordialement, --[[Utilisateur:Padarquetty|Padarquetty]] ([[Discussion utilisateur:Padarquetty|discuter]]) 11 octobre 2026 à 21:15 (UTC) 859mvlqszqqzcx4n0qi6eyjfnhy4e32 0 87392 987272 2026-10-11T21:15:48Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Contrat de travail en France]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Contrat de travail en France]] 987272 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Alkapone67/Contrat de travail en France]] 9rde4hb0dlqxcfm3oc16ix1zzlh1com 0 87393 987274 2026-10-11T21:16:40Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Salarié]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Salarié]] 987274 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Alkapone67/Salarié]] 759qrfggsx3ol6joaxqaw2ntjghy4o3 0 87394 987276 2026-10-11T21:16:50Z Fourmidable 50100 Fourmidable a déplacé la page [[Employeur]] vers [[Utilisateur:Alkapone67/Employeur]] 987276 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Alkapone67/Employeur]] h2hhbmdush1qk81jqv4eklcjafppzpr