Allemand/Grammaire/Conjugaison/Être et avoir

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="fr">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikiversité</sitename>
    <dbname>frwikiversity</dbname>
    <base>https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.23</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Média</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Spécial</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Discussion</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Utilisateur</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Discussion utilisateur</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikiversité</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Discussion Wikiversité</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fichier</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Discussion fichier</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Discussion MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Modèle</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Discussion modèle</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Aide</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Discussion aide</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Catégorie</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Discussion catégorie</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Projet</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Discussion Projet</namespace>
      <namespace key="104" case="first-letter">Recherche</namespace>
      <namespace key="105" case="first-letter">Discussion Recherche</namespace>
      <namespace key="106" case="first-letter">Faculté</namespace>
      <namespace key="107" case="first-letter">Discussion Faculté</namespace>
      <namespace key="108" case="first-letter">Département</namespace>
      <namespace key="109" case="first-letter">Discussion Département</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">Transwiki</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">Discussion Transwiki</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Module</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Discussion module</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
      <namespace key="2600" case="first-letter">Sujet</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Allemand/Grammaire/Conjugaison/Être et avoir</title>
    <ns>0</ns>
    <id>2266</id>
    <revision>
      <id>987303</id>
      <parentid>984724</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:16:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54603-60</username>
        <id>81166</id>
      </contributor>
      <comment>/* Être sein */</comment>
      <origin>987303</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10615" sha1="qk04xu84xw5yrojkqvstcga5tsrinh9" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | titre       = Être, avoir et devenir
  | titre_leçon = La conjugaison allemande
  | idfaculté   = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison en allemand]]
  | numéro      = 2
  | niveau      = 2
  | précédent   = [[../Introduction/]]
  | suivant     = [[../Indicatif présent/]]
  | page_liée   = Quiz/Indicatif présent
  }}

La langue allemande comporte trois auxiliaires, qui hormis leur signification spécifique, permettent la conjugaison des verbes aux temps composés:
;haben : avoir (utilisé pour former les temps composés du passé comme en français).
;sein : être (utilisé pour former les temps composés du passé comme en français).
;werden: devenir (utilisé pour former les temps du futur - futur, futur antérieur, conditionnel - et pour construire le passif).

En allemand, la conjugaison des auxiliaires est différente de celle des autres verbes, et comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités.

== Avoir ''haben''  ==

Le verbe ''haben'' correspond au verbe ''avoir'' en français. Il a non seulement un sens spécifique mais il intervient aussi dans la conjugaison des temps composés du passé. Il est donc omniprésent et indispensable.

Il comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités :
;Présent : La disparition de la lettre b à la deuxième et troisième personne du singulier.
;Prétérit : Le radical du prétérit est '''hatt-'''.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Infinitif
! Présent indicatif
! Prétérit indicatif
! Participe II
! Traduction
|-----
| haben
| hat
| hatte
| gehabt
| avoir
|}

=== &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;Conjugaisons&lt;/div&gt; ===

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''[[Conjugaison/Allemand/Indicatif présent|Présent]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Prétérit'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Parfait'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich hatte&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hast&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hattest&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hast gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;er/sie/es hat&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hatte&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hat gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir hatten&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habt&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr hattet&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habt gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie hatten&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben gehabt&lt;/div&gt;
|}

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur antérieur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Impératif'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif I'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif II'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich hätte&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hab&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du habest&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hättest&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hätte&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;haben wir&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir hätten&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;habt&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habet&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr hättet&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;haben Sie&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie hätten&lt;/div&gt;
|}

== Être ''sein''  ==

Le verbe ''sein'' a non seulement un sens spécifique mais il intervient aussi dans la conjugaison des temps composés du passé. Il est donc omniprésent et indispensable.

Sa conjugaison, comme dans beaucoup de langues, est très irrégulière :
;Présent: Formation totalement régulière
;Prétérit: Le radical prétérit est '''ware-'''
;Participe passé: '''gewesen'''
;Subjonctif I: Radical en '''sei-'''

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Infinitif
! Présent indicatif
! Prétérit indicatif
! Participe II
! Traduction
|-----
| sein
| ist
| war
| gewesen
| être
|}
=== &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;Conjugaison&lt;/div&gt; ===

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''[[Conjugaison/Allemand/Indicatif présent|Présent]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Prétérit'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Parfait'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich bin 
&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich war&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich bin gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du bist&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du warst&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst sein &lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du bist gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es ist&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es war&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es ist gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir sind&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir waren&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir sind gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seid&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr wart&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seid gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie sind&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie waren&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie sind gewesen&lt;/div&gt;
|}

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur antérieur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Impératif'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif I'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif II'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich wäre&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du seiest&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wärst&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wäre&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seien wir&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir seien&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir wären&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seid&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seiet&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr wäret&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seien Sie&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie seien&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie wären&lt;/div&gt;
|}

== Devenir ''werden''  ==

Le verbe ''werden'' correspond au verbe devenir en français. Il a non seulement un sens spécifique mais il sert à former tous les temps du futur, du conditionnel et du passif et à expliciter toutes les formes verbales qui pourraient être ambiguës.

Il comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités:
;Présent: irrégulier à la 2{{e}} et 3{{e}} personne du singulier
;Prétérit: le radical du prétérit est '''wurde-'''.
;Participe passé: '''geworden''' ''(worden dans certains cas au passif)''

Les temps du futur ne sont quasiment jamais utilisés, du fait de la lourdeur de la tournure (''wir werden werden'') et du fait que le verbe werden marque déjà à lui seul le futur. De plus le futur est un temps très rare en allemand (voir le cours correspondant).

=== Conjugaison ===
* Voir [[wikt:Conjugaison:allemand/werden]]

{{Bas de page
  | idfaculté = langues
  | leçon     = [[../|Conjugaison en allemand]]
  | précédent = [[../Introduction/]]
  | suivant   = [[../Indicatif présent/]]
}}</text>
      <sha1>qk04xu84xw5yrojkqvstcga5tsrinh9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987352</id>
      <parentid>987303</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T11:50:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>JackPotte</username>
        <id>2411</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Révocation d’une modification de [[Special:Contributions/~2026-54603-60|~2026-54603-60]] ([[User talk:~2026-54603-60|discussion]]) vers la dernière version de [[User:Crochet.david.bot|Crochet.david.bot]]</comment>
      <origin>984724</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10615" sha1="jc31i0vzp8t0ra0utz66j3ckmu6eqqx" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | titre       = Être, avoir et devenir
  | titre_leçon = La conjugaison allemande
  | idfaculté   = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison en allemand]]
  | numéro      = 2
  | niveau      = 2
  | précédent   = [[../Introduction/]]
  | suivant     = [[../Indicatif présent/]]
  | page_liée   = Quiz/Indicatif présent
  }}

La langue allemande comporte trois auxiliaires, qui hormis leur signification spécifique, permettent la conjugaison des verbes aux temps composés:
;haben : avoir (utilisé pour former les temps composés du passé comme en français).
;sein : être (utilisé pour former les temps composés du passé comme en français).
;werden: devenir (utilisé pour former les temps du futur - futur, futur antérieur, conditionnel - et pour construire le passif).

En allemand, la conjugaison des auxiliaires est différente de celle des autres verbes, et comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités.

== Avoir ''haben''  ==

Le verbe ''haben'' correspond au verbe ''avoir'' en français. Il a non seulement un sens spécifique mais il intervient aussi dans la conjugaison des temps composés du passé. Il est donc omniprésent et indispensable.

Il comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités :
;Présent : La disparition de la lettre b à la deuxième et troisième personne du singulier.
;Prétérit : Le radical du prétérit est '''hatt-'''.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Infinitif
! Présent indicatif
! Prétérit indicatif
! Participe II
! Traduction
|-----
| haben
| hat
| hatte
| gehabt
| avoir
|}

=== &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;Conjugaisons&lt;/div&gt; ===

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''[[Conjugaison/Allemand/Indicatif présent|Présent]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Prétérit'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Parfait'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich hatte&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hast&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hattest&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hast gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;er/sie/es hat&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hatte&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hat gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir hatten&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habt&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr hattet&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habt gehabt&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie hatten&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben gehabt&lt;/div&gt;
|}

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur antérieur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Impératif'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif I'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif II'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich hätte&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;hab&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du habest&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du hättest&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es habe&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es hätte&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;haben wir&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir hätten&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;habt&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr habet&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr hättet&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden gehabt haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;haben Sie&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie haben&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie hätten&lt;/div&gt;
|}

== Être ''sein''  ==

Le verbe ''sein'' a non seulement un sens spécifique mais il intervient aussi dans la conjugaison des temps composés du passé. Il est donc omniprésent et indispensable.

Sa conjugaison, comme dans beaucoup de langues, est très irrégulière :
;Présent: Formation totalement irrégulière
;Prétérit: Le radical prétérit est '''war-'''
;Participe passé: '''gewesen'''
;Subjonctif I: Radical en '''sei-'''

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Infinitif
! Présent indicatif
! Prétérit indicatif
! Participe II
! Traduction
|-----
| sein
| ist
| war
| gewesen
| être
|}
=== &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;Conjugaison&lt;/div&gt; ===

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''[[Conjugaison/Allemand/Indicatif présent|Présent]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Prétérit'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Parfait'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich bin 
&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich war&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich bin gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du bist&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du warst&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst sein &lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du bist gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es ist&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es war&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es ist gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir sind&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir waren&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir sind gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seid&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr wart&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seid gewesen&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie sind&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie waren&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie sind gewesen&lt;/div&gt;
|}

{| width=&quot;100%&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot;
|-----
| width=&quot;23%&quot; bgcolor=&quot;#ccebff&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Futur antérieur'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; bgcolor=&quot;#ffe9bb&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Impératif'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; bgcolor=&quot;#e6ccf2&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif I'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; bgcolor=&quot;#bce9a7&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''Subjonctif II'''&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich werde gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ich wäre&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wirst gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du seiest&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;du wärst&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wird gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;…&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es sei&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;sie/er/es wäre&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir werden gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seien wir&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir seien&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;wir wären&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr werdet gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seid&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr seiet&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; height=&quot;13&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;ihr wäret&lt;/div&gt;
|-----
| width=&quot;23%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie werden gewesen sein&lt;/div&gt;
| width=&quot;26%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;seien Sie&lt;/div&gt;
| width=&quot;27%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie seien&lt;/div&gt;
| width=&quot;24%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Sie wären&lt;/div&gt;
|}

== Devenir ''werden''  ==

Le verbe ''werden'' correspond au verbe devenir en français. Il a non seulement un sens spécifique mais il sert à former tous les temps du futur, du conditionnel et du passif et à expliciter toutes les formes verbales qui pourraient être ambiguës.

Il comporte ainsi un certain nombre d'irrégularités:
;Présent: irrégulier à la 2{{e}} et 3{{e}} personne du singulier
;Prétérit: le radical du prétérit est '''wurd-'''.
;Participe passé: '''geworden''' ''(worden dans certains cas au passif)''

Les temps du futur ne sont quasiment jamais utilisés, du fait de la lourdeur de la tournure (''wir werden werden'') et du fait que le verbe werden marque déjà à lui seul le futur. De plus le futur est un temps très rare en allemand (voir le cours correspondant).

=== Conjugaison ===
* Voir [[wikt:Conjugaison:allemand/werden]]

{{Bas de page
  | idfaculté = langues
  | leçon     = [[../|Conjugaison en allemand]]
  | précédent = [[../Introduction/]]
  | suivant   = [[../Indicatif présent/]]
}}</text>
      <sha1>jc31i0vzp8t0ra0utz66j3ckmu6eqqx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Aide:Niveau/Niveau 4</title>
    <ns>12</ns>
    <id>5622</id>
    <revision>
      <id>987349</id>
      <parentid>964570</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:39:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Commentage du paquet des sections, dont la plupart n'ont sûrement rien à faire ici !</comment>
      <origin>987349</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1146" sha1="rwok132ib1d2zb4poul2mn1c2d5eim3" xml:space="preserve">{{ébauche}}

Cette page d'aide a pour but de donner une définition des différents niveaux de difficulté en fonction du contexte. En effet, le niveau n'a pas la même signification dans toutes les facultés.

Pour signaler une leçon de niveau 4, utiliser le modèle {{m|niveau}}.

L'ensemble des leçons de niveau 4 sont disponibles sur la page [[:Catégorie:Leçons de niveau 4]].

Le niveau 4 correspond globalement au cas d’un ou d'une élève de 8 ans n'ayant jamais redoublé. 

== Selon les pays ==
; France
: École primaire (CITE niveau 1)
:: École élémentaire, classe de cours élémentaire deuxième année (CE2).

; Allemagne
: Grundschule, dritte Klasse (3.)

&lt;!--

== Arts plastiques  ==

== Biologie ==

== Chimie ==

== Droit ==

== Économie ==

== Géographie ==

== Géologie ==

== Histoire ==

== Infographie ==

== Informatique ==

== Langues anciennes  ==

== Langues étrangères  ==

== Mathématiques ==

== Médecine ==

== Musique ==

== Pédagogie ==

== Pharmacie ==

== Philosophie ==

== Physique ==

== Sciences de l'ingénieur  ==

--&gt;

== Notes ==
&lt;references /&gt;


[[Catégorie:Niveau de difficulté|4]]</text>
      <sha1>rwok132ib1d2zb4poul2mn1c2d5eim3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Aide:Niveau/Niveau 5</title>
    <ns>12</ns>
    <id>5623</id>
    <revision>
      <id>987345</id>
      <parentid>964571</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:34:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Commentage du paquet des sections, dont la plupart n'ont sûrement rien à faire ici !</comment>
      <origin>987345</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1138" sha1="ttpgniurxug4cab068qc51xemf5wvh1" xml:space="preserve">{{ébauche}}

Cette page d'aide a pour but de donner une définition des différents niveaux de difficulté en fonction du contexte. En effet, le niveau n'a pas la même signification dans toutes les facultés.

Pour signaler une leçon de niveau 5, utiliser le modèle {{m|niveau}}.

L'ensemble des leçons de niveau 5 sont disponibles sur la page [[:Catégorie:Leçons de niveau 5]].

Le niveau 5 correspond globalement au cas d’un ou d'une élève de 9 ans n'ayant jamais redoublé. 

== Selon les pays ==
; France
: École primaire (CITE niveau 1)
:: École élémentaire, classe de cours moyen première année (CM1).

; Allemagne
: Grundschule, vierte Klasse (4.)

&lt;!--

== Arts plastiques  ==

== Biologie ==

== Chimie ==

== Droit ==

== Économie ==

== Géographie ==

== Géologie ==

== Histoire ==

== Infographie ==

== Informatique ==

== Langues anciennes  ==

== Langues étrangères  ==

== Mathématiques ==

== Médecine ==

== Musique ==

== Pédagogie ==

== Pharmacie ==

== Philosophie ==

== Physique ==

== Sciences de l'ingénieur  ==

--&gt;

== Notes ==
&lt;references /&gt;


[[Catégorie:Niveau de difficulté|5]]</text>
      <sha1>ttpgniurxug4cab068qc51xemf5wvh1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Aide:Niveau/Niveau 6</title>
    <ns>12</ns>
    <id>5624</id>
    <revision>
      <id>987347</id>
      <parentid>964572</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:37:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>Commentage du paquet des sections, dont la plupart n'ont sûrement rien à faire ici !</comment>
      <origin>987347</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1237" sha1="tt3lnp7wlv49lu2ly5zg0moxmy1k1nl" xml:space="preserve">{{ébauche}}

Cette page d'aide a pour but de donner une définition des différents niveaux de difficulté en fonction du contexte. En effet, le niveau n'a pas la même signification dans toutes les facultés.

Pour signaler une leçon de niveau 6, utiliser le modèle {{m|niveau}}.

L'ensemble des leçons de niveau 6 sont disponibles sur la page [[:Catégorie:Leçons de niveau 6]].

Le niveau 6 correspond globalement au cas d’un ou d'une élève de 10 ans n'ayant jamais redoublé. 

== Selon les pays ==
; France
: École primaire (CITE niveau 1)
:: École élémentaire, classe de cours moyen deuxième année (CM2).

; Allemagne
: Sekundarstufe I (Hauptschule, Realschule), fünftete Klasse (5.)
: Sauf Berlin et Brandbourg : Grundschule, fünftete Klasse (5.)

&lt;!--

== Arts plastiques  ==

== Biologie ==

== Chimie ==

== Droit ==

== Économie ==

== Géographie ==

== Géologie ==

== Histoire ==

== Infographie ==

== Informatique ==

== Langues anciennes  ==

== Langues étrangères  ==

== Mathématiques ==

== Médecine ==

== Musique ==

== Pédagogie ==

== Pharmacie ==

== Philosophie ==

== Physique ==

== Sciences de l'ingénieur  ==

--&gt;

== Notes ==
&lt;references /&gt;


[[Catégorie:Niveau de difficulté|6]]</text>
      <sha1>tt3lnp7wlv49lu2ly5zg0moxmy1k1nl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Catégorie:Scolarité en France</title>
    <ns>14</ns>
    <id>26011</id>
    <revision>
      <id>987341</id>
      <parentid>963199</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:17:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>rajout du lien vers le tableau des correspondances avec les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987341</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="407" sha1="1idpfqdcm3byt42mtm7my23ffxhmshs" xml:space="preserve">Cette catégorie regroupe toutes les catégories des cours par formation dans le cursus français ainsi que la page d'index de la scolarité française. Voyez aussi ce [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]], afin de faire le lien avec les scolarités d'autres pays francophones, et les ressources mises ainsi à disposition.

[[Catégorie:Scolarité francophone]]</text>
      <sha1>1idpfqdcm3byt42mtm7my23ffxhmshs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Recherche:Les problèmes environnementaux concernant l'aviation, solutions actuelles et alternatives d'avenir</title>
    <ns>104</ns>
    <id>34295</id>
    <revision>
      <id>987307</id>
      <parentid>986105</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:08:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54774-61</username>
        <id>81168</id>
      </contributor>
      <comment>/* La formation de cirrostratus par les « contrails » */</comment>
      <origin>987307</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="54909" sha1="enarzhcrimxnr1970wq5745yku94fwi" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté = transport
  | image     = BSicon FLUGr.svg
}}

De [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]


Ce travail de recherche est une synthèse des problèmes environnementaux concernant le domaine de l’[[w:aviation|aviation]] suivi d’une présentation des solutions et alternatives possibles. À l’image des études qu’il clôture, ce travail abordera le thème de façon générale. Les sujets abordés ont donc été traités de façon globale sans entrer dans des détails trop techniques qui souvent nous éloigneraient du domaine de l’aéronautique.

Les informations contenues dans ce travail ont principalement été puisées sur le réseau Internet et dans la collection [[W:Science et Vie|Science et Vie]]. Pour une recherche d’informations plus détaillée, vous trouverez en référence à la suite de chaque sujet abordé les adresses des sites Internet les plus intéressants et les plus complets (Internet :) ainsi que les numéros de magazines et numéros de pages des articles Science &amp; Vie les plus complets (Magazine Science et Vie :).

=== Les problèmes environnementaux planétaires  ===

==== Notre terre, un avion  ====

L’aviation est un domaine pointu où une réglementation très stricte ne permet pas de voir les choses avec négligence. De fait, en vol, une simple défaillance peut être fatale pour les passagers d’un aéronef, voire pour les personnes se trouvant sur les lieux lors du crash.

Aussi la terre n’est-elle pas une sorte d’[[W:Aéronef|aéronef]] au fonctionnement très compliqué. Un engin où l’on doit, comme dans un avion, maintenir l’équilibre des forces pour pouvoir assurer la sécurité de ses passagers.

Comme le pilote dans son avion, il nous est permis de vérifier le bon fonctionnement de la terre de par son observation. Pour suivre avec détails les processus d’équilibre, de nombreux moyens ont en effet été mis en place tel que [[W:Satellites|satellites]], [[W:Stations météorologiques|stations météorologiques]], [[W:Sondes océaniques|sondes océaniques]], etc. Ces informations très complexes fournies pas ces postes d'observations sont contrôlées en permanence par les scientifiques. Ce sont eux qui surveillent le tableau de bord de notre planète. Dès l’apparition d’une anomalie, ils nous informent du phénomène inquiétant. Avertis du problème, les dirigeants de notre planète sont libres de réagir en bons pilotes et prendre les dispositions nécessaires pour garantir la sécurité des générations à venir, autrement dit, les passagers présent et futur cette engin spatial que l’on appelle Terre.

==== L’exemple de la couche d’ozone  ====

En 1984, les scientifiques mettent à jour l’existence d’une diminution significative de la concentration d’[[w:ozone|ozone]] (O3) au printemps en [[w:Antarctique|Antarctique]] et à l’automne en [[w:Arctique|Arctique]].

L’ozone se trouve concentré dans la [[w:stratosphère|stratosphère]], avec une accumulation importante entre 15 et {{Unité|40|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} d’altitude et un maximum à {{Unité|35|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}. Grâce à lui la vie sur terre est possible car il filtre le rayonnement du soleil. Il réduit l’intensité des [[w:ultraviolets|ultraviolets]], rayons très nuisibles pour les êtres vivants.

Après une fausse accusation de la circulation aérienne qui aurait au contraire tendance à produire de l’ozone à cet étage de l’[[w:atmosphère|atmosphère]], la raison de ce phénomène est finalement identifiée. Ce sont les [[w:chlorofluorocarbones|chlorofluorocarbones]] (CFC), gaz dont les plus connus sont les gaz réfrigérants qui détruisent la [[w:couche d’ozone|couche d’ozone]]. Heureusement, des gaz substituts aux CFC existent mais ils sont plus chers à produire.

Face au problème, la communauté internationale réagit et concrétise son action avec la signature par de nombreux pays d’un [[W:Protocole de Montréal|protocole à Montréal]], en 1987. Ensuite, grâce à de nombreuses conférences, une solidarité internationale a permis de mettre en place les mécanismes financiers pour permettre à tous les pays concernés de produire les substituts de CFC. En 1992 les CFC sont interdits par la [[W:Communauté économique européenne|Communauté économique européenne]].

Aujourd’hui, la teneur de l'atmosphère en [[W:CFC|CFC]] diminue et on peut espérer retrouver dans {{unité|20|ans}} l'équilibre de la couche d’ozone. La gestion du problème de la couche d’ozone a donc été un bel exemple de solidarité mondiale. Malheureusement, les solutions d’aujourd’hui peuvent devenir les problèmes de demain. Car depuis, un nouveau danger menace la planète et cette fois, ce sont les [[w:hydrofluorocarbures|hydrofluorocarbures]] (HFC), gaz de substitution des CFC, qui font partie de la liste des gaz dangereux. Ils contribuent en effet au réchauffement de la terre par un phénomène appelé « effet de serre » dont nous parlerons plus loin.

Remarque : Il faut faire la distinction entre ozone stratosphérique et troposphérique. L’[[W:Ozone|ozone]] existe aussi dans la [[w:troposphère|troposphère]] et les mélanges avec celui de la [[w:stratosphère|stratosphère]] sont marginaux du fait qu’ils sont séparés de la [[w:tropopause|tropopause]]. Les problèmes liés à l’ozone troposphérique seront traités plus loin.

'''Sources'''

Internet : http://www.notre-planete.info/environnement/trouozone_0.php

Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 56 p.66

==== Le réchauffement climatique  ====
[[Fichier:EcartsTempSurface2014.svg|right|frameless]]
Depuis quelques années, les relevés statistiques des températures terrestres inquiètent les scientifiques. Comme le montre ce graphique ci-contre, la terre se réchauffe et les conséquences de son [[w:réchauffement climatique|réchauffement climatique]] ne sont pas connues avec précision à ce jour.

Les chercheurs tablent sur des modèles informatiques du fonctionnement de la terre dont la grande complexité nous empêche d’obtenir des résultats rapides. Mais la communauté scientifique est unanime à ce jour pour dénoncer l’origine anthropique de la perturbation du système climatique. Il la considère comme dangereuse d’un point de vue mondial et pouvant être dramatique d’un point de vue local (fonte des glaces, montée du niveau des océans).

Le processus responsable du réchauffement climatique a été identifié et reconnu par une majorité de scientifiques. Il se nomme communément « [[w:l'effet de serre|l'effet de serre]] ».

'''Sources'''

Internet :
* http://www.notre-planete.info/geographie/changement_0.php
* [http://www.cea.fr/fr/actualites/articles.asp?id=647 http://www.cea.fr]
* http://unfccc.int/resource/iuckit/cckit2001fr.pdf

Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 1020 p.98

===== L’effet de serre  =====

L’énergie solaire nous parvient sur terre sous forme de rayonnement dont la plus grande partie traverse l’atmosphère pour réchauffer la surface du globe. La terre, à son tour, se défait de cette énergie (aussi sous forme de rayonnement) et la renvoie dans l’espace. Pour maintenir l’équilibre des températures, la terre doit dégager dans l’espace autant d’énergie qu’elle en absorbe.

Le rayonnement émis par la surface terrestre est en majeure partie absorbé dans l’atmosphère par la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone et d’autres « [[w:gaz à effet de serre|gaz à effet de serre]] » (GES) naturellement présents dans la nature. Ces gaz empêchent l’énergie de passer directement de la surface du globe dans l’espace.

En revanche, de nombreux phénomènes interdépendants (notamment le rayonnement, les courants aériens, l’évaporation, la formation des nuages et les précipitations) permettent à cette énergie de s’élever dans l’atmosphère, d’où elle peut rayonner dans l’espace. Ce processus plus lent et moins direct est tout à fait opportun, car si la surface terrestre pouvait diffuser de l’énergie librement dans l’espace, la terre serait froide et sans vie. Mais l’émission de gaz à effet de serre engendrée par les activités humaines perturbe la façon dont le climat maintient l’équilibre entre l’énergie incidente et l’énergie ascendante. L’énergie ascendante, gardée sous forme de chaleur par l’excédant de gaz à effet de serre, provoque le réchauffement de la planète, comme le ferait la serre d’un jardinier…

Les gaz à effet de serre sont bien connus : 

vapeur d’eau ( &lt;chem&gt;H2O&lt;/chem&gt;), [[W:Gaz carbonique|gaz carbonique]] ( &lt;chem&gt;CO2&lt;/chem&gt;), [[W:Méthane|méthane]] ( &lt;chem&gt;CH4&lt;/chem&gt; ), [[W:Oxyde nitreux|oxyde nitreux]] ( &lt;chem&gt;N2O&lt;/chem&gt;), [[W:Ozone|ozone]] ( &lt;chem&gt;O3&lt;/chem&gt; ), [[W:Hydrofluorocarbures|hydrofluorocarbures]] (HFC), [[W:Perfluorocarbures|perfluorocarbures]] (PFC) et [[W:Hexafluorure de soufre|hexafluorure de soufre]] ( &lt;chem&gt;SF6&lt;/chem&gt;).

Une grande partie de ceux-ci sont produits par nos activités humaines tel que le transport, l’industrie, l’agriculture, la production d'énergie, etc.Chacun de ces gaz a un pouvoir d’absorption différent. Le méthane, par exemple, est plus « réchauffant » que le dioxyde de carbone. Mais le CO2 peut rester dans l’atmosphère un siècle contre dix ans pour le méthane. Vu l’énorme quantité émise par l’homme et sa contribution de 70% au réchauffement global, le CO2 devient le gaz à effet de serre le plus important. Aussi, à chaque GES on attribue un [[W:Potentiel de réchauffement global|Potentiel de Réchauffement Global]] (PRG) qui donne pour une masse unitaire du gaz considéré la masse de CO2equivalente en termes d’impact sur l’effet de serre sur un horizon donné. 

PRG pour les GES repris par le protocole de Kyoto sur un horizon de {{unité|100|ans}} :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+Tableau des différents GES en fonction de leur PRG
!GES
!PRG
|-
!CO2
!1
|-
|CH4
|21
|-
|N2O
|310
|-
|HFC
|140 à 11700
|-
|PFC
|6500 à 9500
|-
|SF6
|23900
|}
'''Sources'''

Internet :
* http://www.manicore.com/documentation/serre/physique.html
* http://www.cea.fr/fr/magazine/dossier_EffetDeSerre/

Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1016 p.110

===== Le Protocole de Kyoto  =====

La réaction des gouvernements face au réchauffement climatique s’est concrétisée lors d’une [[w:Convention-cadre des Nations Unies sur les changements climatiques|Convention-cadre des Nations Unies sur les changements climatiques]] en 1992 à Rio. Ce rassemblement a permis l’élaboration de mesures diverses visant à diminuer la production de gaz à effet de serre par l’homme.

La convention-cadre a été suivie par l’adoption du [[w:Protocole de Kyoto|Protocole de Kyoto]] en 1997. Le Protocole est entré en vigueur ce 16 février 2005 grâce à la signature de128 pays. Pour entrer en vigueur, il devait être signé par un minimum de 55 pays représentant plus de 55% des émission de CO2. Le protocole engage juridiquement et quantitativement ces pays signataires à réduire de 5,2% leurs émissions de gaz à effet de serre pour l'horizon 2008 - 2012, par rapport à leurs émissions de 1990. 

En plus de nombreuses recommandations, le Protocole attribue à chaque partie (pays ratifiant) un quota de gaz à effet de serre qui peut être rejeté annuellement dans la période 2008 - 2012. Si un pays réalise une réduction d'émissions plus importante que celle qui lui a été imposée, il crée un surplus. Le Protocole permet alors de vendre ce surplus, notamment aux pays susceptibles de rejeter une quantité supérieure à celle autorisée et qui sont dans l’incapacité d’une réduction.

Les émissions de l'aviation et de la navigation internationales ne sont pas prises en compte dans le Protocole de Kyoto étant donné la complexité d’attribuer celles-ci à un pays. Mais les projections faites sur l’émission du secteur de l'aviation devraient inciter les négociateurs à accélérer les discussions sur les mesures envisageables dans ce secteur (inventaires, technologies, normes…).

Déjà au niveau européen, une pression sur les pays qui ont fait obstacle à la conclusion de l’[[W:Organisation de l'aviation civile internationale|Organisation de l'aviation civile internationale]] (OACI) relatif à l’adoption de valeurs-limites plus strictes pour la réduction des émissions se fait sentir.

D’autres pressions proviennent des autres secteurs du transport et de certains partisans. Ils souhaiteraient voir abolir les subventions nuisibles dans le secteur de l'aviation, et introduire une taxe internationale sur le [[W:Kérosène|kérosène]]. L’aviation jouit de cette détaxe qui a été instaurée au sortir de la seconde guerre mondiale pour promouvoir le développement de l’aviation civile.

Il faut donc s’attendre dans un futur proche à l’apparition de nouvelles normes et réglementations dans le secteur aéronautique, notamment après 2020 suite au renouvellement du Protocole. Aussi, la Commission européenne vient déjà de lancer une consultation populaire en ligne intitulée « réduire l’incidence de l’aviation sur le changement climatique ».

'''Sources'''

Internet :
* http://unfccc.int/cop7/fr/convkp/beginnerfr.pdf
* http://unfccc.int/cop7/fr/convkp/
Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1049 p.86

==== Impact de l'aviation sur le réchauffement climatique  ====

La plupart des analyses permettent d’observer une augmentation des émissions de gaz à effet de serre dans le secteur du transport aérien. Et pour cause, l'aviation a connu une croissance d'environ 48% entre 1990 et 2000. Le [[W:GIEC|groupe d'experts intergouvernemental sur l’évolution du climat]] (GIEC) évalue les émissions de CO2 par l’aviation à 0,14 milliard de tonnes de carbone pour l’année 1992 (soit 0,51 milliard de tonnes de CO2). L’aviation comptait donc en 1992 dans le monde pour 2% des émissions anthropiques totales de CO2, et 13% des émissions liées aux transports. 

Selon l'Institut pour l'Environnement de Stockholm, qui a publié le 5 juillet 2004 un rapport sur l'aviation et le développement durable, c’est bien un peu moins de 2 % du total des gaz à effet de serre qui sont émis par le trafic aérien. Mais du fait de leurs émissions à haute altitude, leurs effets sont 3 fois plus nocifs que s'ils étaient émis au sol. Cela avec la croissance prévisible du trafic, fait qu'en 2050 l'aviation pourrait avoir une responsabilité de 15 % dans le changement climatique.

===== La production de dioxyde de carbone ({{formule chimique|CO|2}})  =====

Chaque kilogramme de kérosène brûlé libère 3,15 {{abréviation|kg|kilogramme}} de [[w:gaz carbonique|gaz carbonique]].

En moyenne, par voyageur, un avion de ligne émet environ 140 grammes de CO2 au kilomètre, contre 100 g/km pour une automobile. Mais le CO2produit par les avions dans la stratosphère ne peut être absorbé par les végétaux terrestres à cause de la barrière que crée la tropopause. 

Pour diminuer cette production, il est nécessaire de poursuivre la diminution de consommation en carburant des avions par tous les moyens possibles. Mais les moteurs d’avions ont déjà vu leur rendement s’améliorer de 50% entre 1970 et 2000 et le secteur du transport aérien est en expansion. 

Plusieurs solutions à court terme sont envisageable comme :
* Rationaliser les transports du secteur en augmentant le taux de remplissage des avions.
* Remplacer les avions les plus bruyants, qui sont aussi les plus consommateurs en carburant.
* Améliorer la gestion des flux de trafic aérien.
* Réduire la consommation d’énergie sur les plates-formes aéroportuaires.
* Améliorer l’intermodalité air/transports collectifs.
D’autre solutions techniques seront traitées dans des prochains chapitres.

===== La production d’oxyde d’azote (NOx)  =====

La haute température de combustion des moteurs d’avions conduit les molécules d’oxygène et d’azote de l’air à former des oxydes d’azote (NOx). Ceux-ci ont un impact positif sur l’effet de serre par la dégradation du méthane. Il contribuent aussi à la formation d’ozone (O3) reconnu comme gaz à effet de serre mais utile dans la stratosphère et nuisible, on le verra, dans la troposphère. Le bilan de la contribution des NOx au réchauffement de la planète n’est donc pas encore clairement défini.

===== La formation de cirrostratus par les « contrails »  =====
&lt;div style=&quot;float:right;&quot;&gt;&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;400px&quot;&gt;
Trainées avion évolution albédo.jpg|7:40
Trainées avion évolution albédo (01).jpg|12:50&lt;/gallery&gt;Traînées (au soleil levant et évolution)&lt;br /&gt;(Lille, 8 octobre 2006).&lt;/div&gt;
En altitude de croisière, les avions peuvent former des traînées blanches appelées [[w:fr:Contrail|contrails]], qui depuis quelques décennies modifient significativement l’[[w:fr:albédo|albédo planétaire]]. La formation de ces « ''trails ''» s’explique par le fait que l’air traversé par les avions peut être saturé d’eau sans qu’il y ait formation de nuages par manque de noyaux de condensation.

Ces noyaux de condensation sont fournis par les réacteurs sous forme d’[[w:fr:aérosol|aérosol]]s ([[w:fr:Suie|suies]], vapeur d’eau…). Ces traînées peuvent évoluer en [[w:cirrus|cirrus]], nuages contribuant à l’effet de serre. Les cirrus laissent passer une grande partie du rayonnement solaire mais transforment le rayonnement terrestre réverbéré en chaleur dont une partie s'accumule dans l'atmosphère.

Une publication signée par les professeurs Travis, Carleton, Lauritsen des universités de Wisconsin, Pennsylvanie et Illinois intitulée « Variation des écarts de température du Sol américain pendant la période du 11 au 14 septembre 2001 durant la Mise au sol des avions. », nous informe comme l’explique le sous-titre de l’« Évidence de l’influence des jet contrails sur le climat ». Pendant le temps de l’expérience, Ils auraient décelé un impact de l’ordre de plus d’un degré centigrade, en baisse le jour et en hausse la nuit.

Les incertitudes sur l'impact radiatif des nuages constituent actuellement un des principaux facteurs qui limitent la compréhension du climat et de son évolution. Si l’on sait couramment que les gaz à effet de serre tendent à réchauffer le système Terre-atmosphère en faisant écran au rayonnement infrarouge émis par la Terre vers l'espace, l'effet de serre dû aux nuages est lui, moins bien connu. Outre cet effet de serre, les aérosols et les nuages, en faisant écran au rayonnement solaire, agissent comme un parasol et tendent à refroidir l'atmosphère. Mais dans quelle mesure ? Toute la question est de déterminer quel est pour la planète, globalement, mais aussi selon les régions, le bilan final de la concurrence entre l'effet parasol et l'effet de serre.

Pour diminuer la formation de [[w:cirrostratus|cirrostratus]], il serait possible d’abaisser les altitudes de vol mais ceci entraînerait un accroissement de la consommation une perte de confort pour les passagers et des recherche de modifications [[w:aérodynamique|aérodynamiques]] sur les avions qui sont actuellement conçus pour des vols à hautes altitudes.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.insu.cnrs.fr/web/article/art.php?art=1299
* http://www.aviation-civile.gouv.fr/html/actu_gd/pdf/B2_Effet_de_serre.pdf
Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1052 p.106

===== La prolifération de maladies et la délocalisation d’espèces  =====

En 1968 la [[w:grippe de Hong Kong|grippe de Hong Kong]], responsable de deux millions de morts, a mis un an pour atteindre 52 des plus grandes villes du monde. Si elle s’était déclarée en l’an 2000, elle aurait fait le tour de la planète en six mois.

Le [[w:Syndrome respiratoire aigu grave|Syndrome respiratoire aigu grave]] (SRAS) fut la première maladie émergente du XXIème siècle : une épidémie s'est vite répandue via les transports aériens en 2003. Elle fut heureusement circonscrite grâce à une intense mobilisation internationale. 

Fait moins connu, un rapport de l’[[w:OMS|OMS]] de 2000 fait état du paludisme aéroportuaire. De 1969 à 1999, douze pays ont notifié 87 cas de [[w:paludisme|paludisme]] chez des personnes vivant à proximité des aérodromes. (France 26, Belgique 16, Grande-Bretagne 14). Le paludisme est une maladie véhiculée par les moustiques qui eux-mêmes sont véhiculés par les avions. 

L’aviation assure donc non seulement la dissémination de maladies mais aussi la dissémination d’animaux et de plantes indésirables dans des régions hors de leur biotope naturel. La venue d’une nouvelle espèce animale ou végétale dans un nouveau biotope sans prédateur peut avoir des conséquences dramatiques de par la prolifération de celle-ci.

Réduire le risque de contamination en cas d’épidémie serait possible en améliorant le conditionnement d’air dans les avions. Aussi, pour les cas extrêmes, il serait possible que la mise en quarantaine soie remise d’application.
Concernant la délocalisation d’espèces, une réglementation sur l’importation d’animaux exotiques existe. Mais les espèces nuisibles tels que les insectes et les champignons peuvent nécessiter des systèmes de désinfection.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.on.ec.gc.ca/community/classroom/millennium/m2-background-f.html
* http://www.mer.equipement.gouv.fr/hommes/05_medical/03_journee/2005/veyrat_p.pdf
Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1049 p.85

===== La contribution au tourisme de masse  =====

Dans certains pays qui émergent par le tourisme, l’argent facile que les visiteurs apportent pervertit la vie locale. Un pourboire donné pour un petit service équivaut parfois au gain normal d’une journée de travail harassant. Ce fait, lié à la drogue ou à la prostitution, peut avoir des répercussions dramatiques. La [[w:Thaïlande|Thaïlande]] est un exemple tristement célèbre pour son tourisme sexuel et sa prostitution enfantine.

Pour autre exemple, à [[w:Bali|Bali]] où la drogue fait des ravages, les jeunes Balinais attirés par le mode de vie des touristes perdent totalement leurs repères ancestraux. Les traditions se perdent comme l’accueil de l’étranger, les danses, les offrandes et l’entretien des temples. L’économie locale est bouleversée. Les anciens ne voient pas la relève, les champs sont délaissés et l’argent facilement gagné est vite dépensé en singeant le touriste.

Un changement de traditions et d’économie locales ne doit pas forcément être vu de façon négative, mais le tourisme est une rentrée d’argent instable. Il suffit d’un attentat ou d’une catastrophe naturelle, pour qu’une économie basée sur le tourisme s’effondre. Aussi, la détérioration du patrimoine naturel et culturel par le flux du touriste de masse pousse à la nécessité de développer un tourisme durable.

Il existe au niveau des [[w:Nations Unies|Nations Unies]], une charte qui attend de se faire appliquer.

'''Source'''

Internet : http://www.planetecologie.org/JOBOURG/Francais/tourisme.html http://www.insula.org/tourism/version.htm

=== Problèmes environnementaux régionaux  ===

==== Le bruit  ====

Comme en témoigne le dossier de Bruxelles National, le bruit des avions est un problème épineux à proximité des aéroports. Il a été admis que dans l’union européenne plus de dix millions de citoyens souffrent de nuisances sonores dues au trafic aérien.

===== Le bruit des moteurs à réaction  =====

La réduction du bruit des moteurs à réaction a été très importante depuis l’apparition de ceux-ci. Pour exemple, un avion à réaction des années 1960 tel que la Caravelle produisait autant de bruit que 125 avions de la génération actuelle tels que l'Airbus A320.

'''Le bruit du jet'''

À la sortie du réacteur, le jet des gaz, au départ rectiligne, se met à osciller et devient instable à mesure qu’il interagit avec l'air ambiant. Ces interactions provoquent des turbulences, sources de bruit de basses fréquences. Ce bruit de jet dépend du diamètre de la tuyère mais aussi de la vitesse d'écoulement du jet.
Les [[w:turboréacteur|turboréacteurs]] adaptés au vol supersonique sont nécessairement à simple flux ou à très faible taux de dilution. Le jet constitue alors la principale source sonore.

'''Le bruit de soufflante.'''

La soufflante est la partie composée de nombreuses pales carénées à l'avant du moteur à double flux. Dans ce type de moteur, le flux secondaire enrobe le flux primaire à la sortie du réacteur ce qui permet de réduire l’incidence du bruit de jet. Le bruit à large bande émis par ces turboréacteurs actuels, à grand taux de dilution, est dû essentiellement à la soufflante. 

'''Les bruits internes'''

Les bruits internes proviennent principalement de la combustion du carburant dans le moteur et des turbines.

Les techniques actuelles de réduction sonore des moteurs à réactions atteignent leurs limites. Construire des moteurs encore plus silencieux implique en contrepartie de diminuer leurs performances (baisse de rendement, problème de taille, accroissement de la consommation).

Devant cet ennuyeux dilemme, les compromis sont donc de plus en plus difficiles à trouver pour les constructeurs. Aussi les méthodes proposées actuellement, comme augmenter la taille des moteurs, produire des bords de tuyères en dents de scies, où placer des matériaux absorbants ne sont pas des solutions miracles.

De nouvelles idées plus audacieuses sont en cours de recherches comme mettre les moteurs au dessus des ailes à l’image du VFW 614 (http://icaer4.club.fr/datas/VF14.htm) ou au dessus d’un empennage en V et limiter ainsi la diffusion du bruit vers le sol, ou encore produire de façon artificielles des bruits de fréquences inverses pour annuler ceux du moteur.

Enfin un turboréacteur peut être utilisé pour alimenter une hélice il devient alors [[w:turbopropulseur|turbopropulseur]]. Au bruit du moteur s’ajoute donc celui de l’hélice dont on parlera ci-dessous.

===== Le bruit du moteur à pistons  =====

Les [[w:moteurs à pistons|moteurs à pistons]] sont par nature moins bruyants que les moteurs à réaction. Mais l’aviation légère et sportive qui utilise ce type de moteur utilise des altitudes de croisière plus basses que l’aviation commerciale (surtout les ultra légers). De plus, les terrains d’atterrissages sont situés généralement plus près des zones habitées.

Les bruits provenant d’un moteur à pistons proviennent majoritairement de l’échappement des gaz brûlés. Contrairement aux ULM les avions neufs ne sont en général pas équipés de silencieux. Mais les constructeurs de silencieux existent et la réglementation d’un pays peut rendre leur installation obligatoire.

===== Le bruit des hélices  =====

Les moteurs à pistons sont généralement couplés à une hélice propulsive.

L’ extrémité d’une hélice se déplace à une vitesse proche de celle du son. Elle cause des turbulences responsables d'un bruit qui peut être d'un niveau sonore plus ou moins élevé selon le type de l’hélice et sa vitesse de rotation.

En général, plus les hélices sont courtes et plus elles sont lentes, moins elles font de bruit. Pour conserver une force propulsive suffisante en rapport à la puissance du moteur on augmente alors le nombre de pales.

===== Les bruits aérodynamiques  =====

Le bruit des avions ne se limite pas à celui de leurs moteurs. Les bruits résultant de l’écoulement de l'air le long de la voilure sont aussi très important. 

C’est à l'atterrissage que les bruits aérodynamiques dominent même si le son du moteur est encore largement présent. Ces bruits sont d'autant plus gênants que les avions restent plus longtemps à basse altitude lors de l'approche.

Les principales sources de bruit en plus du train d’atterrissage, sont situées au voisinage des discontinuités de l'aile. Les systèmes hyper sustentateurs sont donc très bruyants car ils créent des tourbillons lorsque la voilure est déployée.

Les recherches pour diminuer les bruits aérodynamique des surfaces portantes n'en sont qu’à leur début. Les solutions actuelles portent donc sur le pilotage en cherchant notamment à améliorer les procédures d’approche des avions. Les recherches consistent à trouver la pente d’atterrissage qui minimiserait au maximum les bruits aérodynamiques selon le type d’avion et ce dans les possibilités de l’espace aérien.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.biac.be/night/fr/questions.cfm
* http://www.infobruit.org/ministeres/publications/sources/CNB-av_legere_01.pdf
* http://www.onera.fr/dsna/brutur/
Magazine Science et Vie	n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1049 p.92

==== L’émission de gaz toxiques  ====

La pollution toxique d’un moteur provient principalement d’une combustion incomplète du carburant car son mélange avec l’air n’est jamais parfait.

Les principaux gaz toxiques qui sont produit sont :
* Les [[w:hydrocarbure|hydrocarbures]] imbrûlés (HC) cancerogènes.
* Le monoxyde de carbone (CO) qui bloque la transmission d’oxigène dans le sang.
* Le [[w:dioxyde de soufre|dioxyde de soufre]] (SO2) qui aggrave les maladies de l'appareil respiratoire et participe au phénomène des [[w:pluies acides|pluies acides]] par la combinaison d’[[w:acide sulfurique|acide sulfurique]] (H2SO4).
* Les [[w:oxydes d’azote|oxydes d’azote]] (NOx) qui touchent les fonctions respiratoires, augmentent la sensibilité aux maladies et participent aux pluies acides par combinaison de [[w:nitrate d'ammonium|nitrate d'ammonium]] (NH4NO3) et d'[[w:acide nitrique|acide nitrique]] (HNO3).
* Indirectement l’ozone (O3) toxique au niveau du sol. Il accentue des troubles respiratoires des personnes sensibles.
* L’ozone troposphérique est produit par l’action du rayonnement solaire sur les oxydes d’azote mélangés aux émissions de solvants et d‘hydrocarbure. Les pics d’ozone ont pour conséquence l’apparition d’un [[w:brouillard photochimique|brouillard photochimique]] (smog) caractérisé par une diminution de la visibilité et par des atteintes aux humains, animaux, plantes et matériaux.

===== Les moteurs 4 temps  =====

Dans le monde automobile où les moteurs à 4 temps sont principalement utilisés, des progrès considérables ont été réalisés pour diminuer l’émission de gaz toxiques. D’une part en diminuant grandement la consommation, d’autre part en préconisant l’installation de pots d’échappement catalytiques sur les moteurs diesel comme essence.
Ces pots d’échappement conçus actuellement à plusieurs étages contiennent des métaux précieux qui permettent de brûler ou de transformer en gaz non toxiques les gaz toxiques précités. La réduction peut dépasser les 90% quand le pot est à température de fonctionnement.

Malheureusement, l’utilisation du pot catalytique n’est pas généralisée en aviation, pour une question de poids et de rendement. De plus l’[[w:Avgas|Avgas]], essence plombée à haut indice d'octane utilisée sur les avions ne permettrait pas son utilisation. Le plomb est un polluant toxique mais a aussi la propriété d’encrasser les pots catalytiques, raison pour laquelle il a été retiré de l’essence destinée aux véhicules de la route.
L'Avgas est donc un carburant problématique pour la réduction d’émissions de gaz toxique et l’utilisation d’essence voiture pour un moteur non adapté entraîne sa détérioration.

Très récemment, on voit apparaître de nouveau types d’avions qui utilisent d’autres carburants, comme le DA 42 de Diamond Aircraft bimoteur carburant au kérosène et l’Ipanema de Embraer qui fonctionne à l’alcool combustible.
Enfin sur les avions à moteurs à pistons une commande « mixture » permet de contrôler la richesse du mélange et de l'adapter à la richesse de l'air qui varie avec l'altitude de l’avion. En effectuant un mauvais réglage ou en utilisant celui-ci pour refroidir le moteur, on augmente la proportion du carburant imbrûlé.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.diamond-air.at/download/pressreports/305aviationpilote.pdf
* http://www.sciencepresse.qc.ca/archives/2004/cap0208045.html
Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 1038 p.82 et n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 1037 p.122

===== Les moteurs 2 temps  =====

Principalement utilisés dans l’aviation ultra légère, les moteurs deux temps sont les plus pollueurs. Ils brûlent non pas de l'essence pure mais un mélange d'huile et d'essence. En raison de leur fonctionnement technique, une forte proportion d’huile et d'essence traverse le moteur sans participer à la combustion. Aussi ils ne peuvent être équipés de pots catalytiques car ceux-ci s’encrasseraient trop vite.

Les moteurs 2 temps ont pour avantage leur rapport poids puissances, mais les améliorations techniques apportées aux moteurs 4 temps les rendent de plus en plus compétitif sur ce point. Aussi plus écologiques, les moteurs 4 temps sont aussi avantageux au niveau de la fiabilité, de la consommation et de l’endurance. 

===== Les moteurs à réaction  =====

Les moteurs à réaction utilise du [[w:kérosène|kérosène]] pour leurs combustion. Produit de distillerie, il se situe entre le diesel et l’essence.

Les émissions des moteurs d’avions à réaction dépendent du régime du moteur, et donc de la phase de vol dans laquelle ils sont. À chaque phase du cycle décollage atterrissage sont associées une durée et une pollution spécifique.

Ainsi les moteurs qui tournent à plein régime au décollage émettent majoritairement des oxydes d’azote. Au sol en revanche, les moteurs tournent au ralenti, ce qui se traduit par des combustions incomplètes et donc des rejets de monoxyde de carbone CO et d’hydrocarbures imbrûlés.

La réduction des pollutions atmosphériques reste une gageure pour les constructeurs des moteurs. Il leur faut trouver le meilleur compromis entre la diminution des émissions toxiques, l’augmentation du rendement et la sécurité des avions. Sans gonfler démesurément les coûts. 

Des recherches sont aussi en cour pour réduire la consommation en diminuant la traînée induite, la traînée d’onde et les forces de frottements. 

Dans l’attente de progressions futures, une solution appliquée sur les aéroports internationaux est de prévoir aux emplacements d’arrêt une alimentation en électricité {{unité|400|Hertz}}. En effet les gros avions de transport sont équipés d’un [[w:apu|apu]], système motorisé auxiliaire permettant l’approvisionnement en énergie lorsque les moteurs principaux sont éteints. Mais l’apu est aussi un moteur, et bien qu’il soit plus petit, il produit aussi des gaz indésirables. Un système d’approvisionnement des avions en énergie permet donc de ne pas les utiliser ces moteurs.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.aviation-civile.gouv.fr/html/actu_gd/pdf/B2_pol_atm_aviation.pdf
* http://www.onera.fr/coupdezoom/12-reduction-oxydes-azote-suies.php
* http://www.onera.fr/coupdezoom/15-reduction-trainee.php
Magazine Science et Vie :n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1052 p.106

==== L’émission d’aérosols  ====

La combustion d’essence et de kérosène dans les moteurs d’avions produit des aérosols sous forme de suies. Les moteurs fonctionnant au kérosène et au diesel produisent beaucoup plus d’aérosols que les moteurs à essence. 
Les aérosols sont des particules solides ou liquides de dimensions inférieures à 100 micromètre et présentant une vitesse de chute négligeable.

Chaque fois que nous respirons, des milliers de ces particules pénètrent dans nos poumons et se déposent, suivant leurs tailles, dans les voies respiratoires ou dans les alvéoles (lieu des échanges gazeux).
Les propriétés des aérosols se définissent en fonction du diamètre aérodynamique de la particule appelé taille particulaire.

Les particules de diamètre aérodynamique inférieur 10 µm sont appelée PM10. Parmi ces particules celles entre 7 et 10 µ peuvent être principalement retenues dans le nez. Ensuite et au fur et à mesure que leurs tailles diminuent, elles peuvent atteindre les voies respiratoires supérieures et les poumons. Les PM10 ont un impact sur la morbidité respiratoire.

Plus petites que les PM10, les particules plus fines, appelées PM2,5 (diamètre aérodynamique inférieur à 2,5 μm), sont plus dangereuses dans la mesure où elles pénètrent plus profondément dans les poumons et peuvent atteindre la région alvéolaire et devenir cancérigène.

Une autre nuisance due à la production d’aérosols est la salissure et le noircissement, ou « soiling » résultant du dépôt et de la rémanence de particules atmosphériques carbonées à la surface des matériaux. Ce soiling des façades des immeubles et des objets mobiliers extérieurs sont des nuisances souvent évoquées par les résidents des zones péri-aéroportuaires.

Les études concernant les effets des suies émises par la combustion du kérosène dans les moteurs d’avions sont peu nombreuses et ne concernent pas les problème de pollutions environnementales.

Mais des études sont en cours grâce au nouveau dispositif optique appelé oscillateur paramétrique optique (OPO) pour obtenir une vision de la nature des particules et des gaz émis par la combustion du kérosène. Des prélèvements en sortie d’un banc moteur d’avion civil sont réalisés avec des paramètres de fonctionnement (régime du moteur, richesse en carburant…) les plus proches possibles de ceux observés en zone aéroportuaire.
Le problème des aérosols a été résolu sur les moteurs diesel automobile en installant un filtre à particules sur l’échappement (Fap). Mais aucun filtre n’est envisageable sur les moteurs à réaction. Seul un changement de carburant pourrait permettre une réduction des émissions d’aérosols. Sujet abordé dans le chapitre 4.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.notre-planete.info/environnement/particules_0.php
* http://www.lisa.univ-paris12.fr/IMA/operations.htm
* http://www.onera.fr/coupdezoom/14-lumiere-laser-opo.php
Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 1038 p. 82

==== Le délestage de kérosène en cas de problème  ====

La pression qu’exerce un avion sur une piste d’aéroport est moins importante au décollage qu’à l’atterrissage. En effet, à l’atterrissage la piste doit non seulement supporter le poids d’un avion, mais aussi la force nécessaire pour dévier l’avion de sa trajectoire descendante. Ce [[w:Poids#Poids apparent|poids apparent]] variera en fonction de l’habileté du pilote de faire correctement son « arrondi » dans sa manœuvre d'[[w:atterrissage|atterrissage]].

De ce fait, lorsqu’un avion doit interrompre son voyage après une difficulté survenue pendant ou peu de temps après le décollage, il ne lui est permis de revenir sur un aéroport qu’après s’être délesté pour atteindre le poids maximum autorisé à l’atterrissage. Ce délestage se fait en vidant une partie du kérosène contenue dans ses réservoirs.

Ce délestage doit être effectué au-dessus d’une zone peu urbanisée, en mer ou dans le pire des cas au dessus des terres et ce, à plus de {{Unité|2000|m}} d’altitude. La majeure partie du kérosène délesté se vaporise dans l’atmosphère ({{Unité|90|%}}), le reste est susceptible d’atteindre la mer ou le sol.

Un Boeing 747, partant pour un vol long courrier pourrait délester cinquante à soixante mille litres de kérosène. Limiter la charge d’un avion au décollage à celle de l'atterrissage pourrait éviter ce type de problème mais cela pourrait exiger dans le cas de long courrier une escale de ravitaillement, avec les problèmes qui en découlent.

==== Pollution des eaux  ====

L'extraction, le stockage et le transfert dans la chaîne de production et d’approvisionnement en hydrocarbures s'accompagnent de pollutions diverses : marées noires, dégazages, pollution des eaux continentales par le raffinage, fuites de stocks entreposés, pertes lors de transfert, accidents ... 

La réglementation et le contrôle dans le domaine existent et des moyens de contrôle se développent comme le marquage {{abréviation|ADN|acide désoxyribonucléique}} des produits pour une meilleure filiation. 

La pollution due à une fuite accidentelle peut être anticipée par des systèmes de récolte ou traitée par l’utilisation des produits absorbants comme la tourbe.

Nettoyant les pistes, les eaux pluviales sont chargées en de nombreuses matières polluantes : hydrocarbures, détergents, poussières, mais aussi en hiver de glycols et autres produits luttant contre le verglas. 
Après collecte, ces eaux sont traitées afin de garantir le respect des exigences sur la qualité du rejet au milieu naturel.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.stba.aviation-civile.gouv.fr/publications/documents/ruisell.pdf
* http://www.stac.aviation-civile.gouv.fr/publications/documents/eauaero2/eauaero2.pdf
 
=== Alternatives d'avenir  ===

==== De nouveaux concepts aérodynamiques  ====

Avec l’apparition prochaine sur nos aéroports de l’airbus A380, il est fort probable que nous ayons atteint une limite qu’on pourrait qualifier de génétique à l’évolution en taille des cellules de types traditionnelles. Par ailleurs Boeing, concurrent direct d’Airbus, ne semble pas vouloir relever le défi du nombre de places.
Si un gros avion crée moins de problèmes environnementaux que deux petits pour la même quantité de passagers, la recherche de nouveaux concepts aérodynamiques est donc d'actualité. Il n’existe encore aucun projet concret mais les recherches sont en cours sur les pistes des plus diverses dont voici quelques exemples.

===== L’avion à double pont  =====

L’avion à double pont permet d’augmenter la charge utile mais pose des problèmes au niveau de son envergure.

'''Source'''

Internet : http://www.techno-science.net/?onglet=articles&amp;article=025

===== L’aile volante  =====

Pour augmenter la capacité des avions du futur, il est probable que l’on se tourne vers le concept de l’aile volante dont le principal avantage réside dans le fait que toute la structure de l’avion est portante. Aussi la perte de rendement aérodynamique d’une aile delta par rapport à une aile classique est compensé par la suppression de traînée due à l’empennage.

La réalisation de ce type de structure pose des problèmes d’envergure, de pressurisation et d’installation de hublots pour les passagers.

'''Sources'''

Internet : http://www.cybersciences.com/cyber/4.0/nov96/aile1196.asp
Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;933 p.102, n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1000 p.170 et n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1002 p.128

===== Le dirigeable  =====

L’accident du « [[w:Hindenburg|Hindenburg]] » (le dirigeable allemand qui brûla en 1935) suscita l’abandon du « plus léger que l’air ».

Les problèmes environnementaux de notre époque nous font revenir sur nos pas pour reconsidérer le [[w:dirigeable|dirigeable]] comme moyen de transport. Mais bien qu’il soit aujourd’hui gonflé à l’hélium gaz ininflammable de gros problèmes d’exploitation subsistent.

Parmi ses avantages :
* Il permet un accès aux endroits dont les configurations géographiques interdisent l’accès aux aviations classiques.
* Le bruit qu‘il produit sera toujours inférieur à celui d’un avion quelques soient les moteurs, car il n’y a pas de bruit aérodynamique dû à la portance. Aussi les bruits lors du décollage et de l’atterrissage sont localisé sur une surface réduite.
* Le vol stationnaire sans dépense d’énergie lui donne une grande flexibilité de vol.

Parmi ses inconvénients :
* Sa grande taille est source de traînées et le rend très sensible aux conditions météorologiques.
* Sa vitesse lente ( record du monde : 111,8 km /h ) n’est acceptable que pour certaines utilisations.
* Il est de fabrication coûteuse par sa taille mais aussi par les infrastructures qu’il nécessite.
* Il demande une grande quantité d’hélium, gaz cher, dont les fuites dues à la finesse de sa molécule sont inévitables.

'''Aérostats existant aujourd’hui''' :
* L’aérophile (nom du ballon captif utilisé à Bruxelles par Belgacom), le plus grand du monde a une enveloppe de {{unité|5.500|m|3}} gonflée à l’hélium et est équipé d’une nacelle circulaire pouvant accueillir jusqu’à 30 personnes à la fois. Relié au sol par un câble il élève les touristes voyageurs à {{unité|150|mètres}} (http://www.aerophile.com/).
* Le Zeppelin NT, de la compagnie du même nom, a une vocation touristique pour le transport de personnes (http://dirigeables.free.fr/zeppelinNT.htm).
* Le Cargolifter, dirigeable de grande taille, était destiné au transport de certaines charges encombrantes mais l’entreprise a fait faillite en 2002 sans avoir construit un seul exemplaire. (http://dirigeables.free.fr/CargoLifter.htm).

'''Sources'''

Internet : http://www.techno-science.net/?onglet=articles&amp;article=022
Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;992 p.150

==== Des moteurs non polluants  ====

===== Les nouveaux carburants  =====

Des substituts aux carburants classiques des avions utilisant des moteurs à pistons existent comme nous avons déjà pu le constater. À ceux déjà vus nous pourrions ajouter certains biocarburants dont la production nécessite de grandes quantités de biomasse et des procédés qui ne sont pas toujours très écologiques.
Mais le carburant parfait, s’il en est un, est bien l’hydrogène. Comme son nom l’indique sa combustion simple n’a pour résidu que de l’eau. De plus, la molécule d’hydrogène est présente dans la nature de façon la plus abondante. 

L’idée de développer une société utilisant l’hydrogène comme principal vecteur d’énergie est prise très au sérieux. L’[[w:Islande|Islande]] sert déjà comme terrain test en la matière.

Mais l’hydrogène est-il compatible avec l’aviation ? 

Techniquement, il est possible de remplacer dans un réacteur l’utilisation du Kérosène par de l'hydrogène sous forme liquide à très basses températures (température de liquéfaction –253°c) comme en témoigne le projet Cyroplane d’Airbus.

Malheureusement cette nouvelle technologie apporte son lot d’inconvénients car si la simple combustion de l’hydrogène ne génère que de l’eau, à très haute températures sa combustion entraîne une importante production de NOx. Les moteurs à hydrogène rejettent 2,8 fois plus d'eau qu'un moteur classique, ce qui favoriserait la formation de cirrus.

Le stockage et le transport de l’hydrogène génèrent de gros problèmes tant au niveau du volume de stockage que de la sécurité.

L’hydrogène est un gaz très volatil, inflammable et explosif. Les fuites de celui-ci créent un risque d’explosion et pourraient nuire à la couche d’ozone.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.le-webmag.com/article.php?ref=000303&amp;lg=fr
* http://www.pile-a-combustible.com/islande.html

===== Le moteur électrique  =====

Voici un moteur qui, dans le domaine de l’aviation présente beaucoup d’avantages sur le moteur à pistons. Démarrage automatique, puissance instantanée, grande plage de vitesses, simplicité d’entretien, insensibilité au givre, au renversement , aux variations de densité de l’air, bruit négligeable, pollution zéro, grande longévité… Ce serait le moteur d’avion idéal s’il ne nécessitait pas d’être approvisionné par une énergie difficile à stocker et à transporter.

Mais déjà, le constructeur Boeing travaille sur la réalisation d’un prototype muni d’une [[w:pile à hydrogène|pile à hydrogène]]. Dans le domaine de l’automobile, le record actuel est de {{Unité|311|{{Abréviation|km/h|kilomètre par heure}}}} pour un moteur de 600 chevaux.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.boeing.com/news/releases/2001/q4/nr_011127a.html
* http://www.clean-auto.com/article.php3?id_article=253

===== Le moteur à air comprimé  =====

Le moteur à air comprimé existe mais les problèmes liés au stockage de l’air comprimé ne pourraient permettre une autonomie suffisante pour une application dans l’aviation. Aussi si le moteur à air comprimé vol actuellement, c’est sur des avions modèle réduit.

'''Sources'''

Internet :
* http://info.effetserre.free.fr/Solutions/Air_Comprime.html
* http://www.lastinfos.com/articles/jeux_jouets/JOUETS/440196.htm

===== Stockage d’électricité et production embarquée  =====

L’électricité est une énergie très commode et propre pour peu qu’elle soit fabriquée de façon écologique. Les risques de son utilisation sont connus et maîtrisés mais elle n’existe pas de façon spontanée dans la nature ou en tout cas pas de façon exploitable. Il faut donc la produire puis la stocker et, si sa production ne pose pas de soucis, son stockage reste un problème épineux. 

===== La Batterie lithium polymère  =====

La [[w:batterie Lipo|batterie Lipo]] est actuellement le système d’accumulation d’électricité le plus performant. D’une grande capacité, elle se présente comme une enveloppe souple d’une épaisseur de 3.5 mm et d’une grande légèreté. Son rapport poids puissance est trois fois supérieur aux derniers accumulateurs commercialisés.

Elle a un coût de maintenance quasi nul mais peut s'avérer dangereuse si elle ne n’est pas utilisée et manipulée correctement (risque d’auto-combustion). Aussi son prix reste très élevé.

Déjà très présente dans le milieu du modélisme, elle devrait certainement s'intégrer dans de nombreuses applications de l’aviation à taille réelle.

'''Sources'''

Internet :
* http://klaudius.free.fr/lipo.htm
* http://www.ni-cd.net/accusphp/index.php
Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;991 p.136

===== La pile à combustible  =====

La [[w:pile à combustible|pile à combustible]] est sans doute la solution la plus plausible pour l’approvisionnement des moteurs électriques de demain. Grosso modo son principe repose sur une réaction inverse à celle de l’hydrolyse. Elle produit à partir d’hydrogène de l’énergie répartie en électricité pour 60% et en chaleur pour 40%. L’exploitation de ces deux types d’énergies (cogénération) permettrait à la pile à combustible de supplanter facilement l’apu des avions de grande taille.

Son utilisation en aviation légère est envisagée sur un projet de partenariat entre Boeing et Air Diamond.
Les inconvénients de la pile à combustible réside dans son prix de revient actuellement très élevé et dans son approvisionnement en hydrogène dont le transport et le stockage restent complexe.

Toutefois, une alternative au ravitaillement existe si l’on utilise de l’alcool pour produire de l’hydrogène à bord, mais dans ce cas il y a nécessité d’utiliser un réformeur, appareil qui permet la production d’hydrogène à partir d’alcool. Malheureusement, il est polluant et accuse une perte de rendement et un coût de production supplémentaire. La pile à combustible fonctionnant directement avec l’alcool existe mais son rendement est actuellement très faible.

Quoi qu’il en soit hydrogène et alcool ne se trouvent pas naturellement dans la nature et leur production devra répondre aux exigence d’un développement durable.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.cea.fr/fr/Publications/clefs50/024a025alleau.pdf
* http://www.annso.freesurf.fr/bases.html
* http://www.pile-au-methanol.com/pilecombustible.pdf
Magazine Science et Vie n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;1004 p.140

===== L’avion solaire  =====

La cellule photovoltaïque serait une solution idéale pour alimenter les moteurs électriques d’un aéronef: énergie gratuite, pas de problème de gestion de carburant, rentabilité augmentant avec l’altitude et le froid, peu d’entretien, grande longévité... Malheureusement son rendement est trop faible. L’énergie fournie au mettre carré par le soleil est de {{unité|1200|W}}. Avec des cellules dépassant difficilement un rendement de 25%, il faudrait une surface énorme pour assurer une puissance équivalente à celle d’un moteur d’un avion classique.

Malgré tout, le défi de parcourir des distances en avion solaire a été relevé, notamment avec Solar Challenger qui traversa la manche en 1981, et prochainement peut être avec un nouveau tour du monde de Bertrand Piccard à bord du Solar Impulse.

'''Sources'''

Internet :
* http://www.solar-impulse.com
* http://www.inti.be/ecotopie/solavion.html
* http://www.sun-h2.be/faq.htm
Magazine Science et Vie : n&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;958 p.134

=== Conclusion ===

Plus rapide, plus propre, plus sûr, moins bruyant et moins cher : tel sera l'avion du futur… C'est du moins le vœu de tous et une condition essentielle au fantastique essor auquel l'aviation civile semble promise. 
Quoi qu’il en soit, le paysage mondial du transport aérien va changer dans les décennies à venir et l'avion devra aussi faire sa mue.

Face à de telles ambitions, la recherche se mobilise depuis des années pour tendre vers cet idéal aérien.
Mais la question principale pour l’aviation comme pour le reste des activités humaines sera celle de l’énergie. Aux sources d’énergie fossile polluante et en cours d’épuisement, il faudra d’ici peu trouver une alternative. 
La recherche semble s’orienter vers l’hydrogène et l’électricité comme vecteur d’énergie, mais l’un comme l’autre pose des problèmes de stockage et de transport.

Enfin, il nous reste à trouver les moyens nécessaires à leurs productions. Une production qui se doit d’être renouvelable, non polluante et capable de couvrir la demande en augmentation constante.
Quelle sera l’énergie du future ? Nucléaire, éoliennes, solaire, océanique ? Les pistes sont nombreuses et un nouveaux débat s’ouvre pour les décennies à venir.

À mon sens, la société devrait s’orienter vers une production décentralisée utilisant les technologies les mieux adaptées aux lieux de production.

Ce système aurait l’avantage de minimiser le transport d’énergie tout en évitant les monopoles de production trop souvent à l’origine de troubles politiques.

Mais l’avenir nous l’apprendra…

'''Sources'''

Internet :
* http://www.cea.fr
* http://www.cnrs.fr

[[Catégorie:Aéronautique]]</text>
      <sha1>enarzhcrimxnr1970wq5745yku94fwi</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Aide:Niveau/Niveau 1</title>
    <ns>12</ns>
    <id>34828</id>
    <revision>
      <id>987350</id>
      <parentid>964556</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:40:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>Commentage du paquet des sections, dont la plupart n'ont sûrement rien à faire ici !</comment>
      <origin>987350</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="852" sha1="ml1it7f6259fqmup1yjhq9c28mx9mmh" xml:space="preserve">{{ébauche}}

Cette page d'aide a pour but de donner une définition des différents niveaux de difficulté en fonction du contexte. En effet, le niveau n'a pas la même signification dans toutes les facultés.

Pour signaler une leçon de niveau 1, utiliser le modèle {{m|niveau}}.

L'ensemble des leçons de niveau 1 sont disponibles sur la page [[:Catégorie:Leçons de niveau 1]].

&lt;!--

== Arts plastiques  ==

== Biologie ==

== Chimie ==

== Droit ==

== Économie ==

== Géographie ==

== Géologie ==

== Histoire ==

== Infographie ==

== Informatique ==

== Langues anciennes  ==

== Langues étrangères  ==

== Mathématiques ==

== Médecine ==

== Musique ==

== Pédagogie ==

== Pharmacie ==

== Philosophie ==

== Physique ==

== Sciences de l'ingénieur  ==

--&gt;

== Notes ==
&lt;references /&gt;


[[Catégorie:Niveau de difficulté|1]]</text>
      <sha1>ml1it7f6259fqmup1yjhq9c28mx9mmh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Utilisateur:Ambre Troizat</title>
    <ns>2</ns>
    <id>42534</id>
    <revision>
      <id>987310</id>
      <parentid>987287</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:45:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 5. Lien vers Wikidata */ Lien vers Wikidata</comment>
      <origin>987310</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20635" sha1="crtab6q4za4k9rq205wf9rudqvkglw8" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]&lt;/nowiki&gt;

Pour lier une catégorie Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Attention : sur Wikiversité, écrire simplement &lt;nowiki&gt;[[Fichier:...]]&lt;/nowiki&gt; peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki &lt;nowiki&gt;[[c:File:...]]&lt;/nowiki&gt; est souvent plus clair.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Lien vers Wikipédia ==

Pour lier Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :

&lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;

== 7. Lien externe simple ==

Un lien externe utilise une seule paire de crochets.

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;

Affichage :

[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

Il ne faut pas écrire :

&lt;nowiki&gt;[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]&lt;/nowiki&gt;

Cette forme mélange lien interne et lien externe.

La bonne formule est :
&lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

=== Échapper inutilement les deux-points ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

=== Transformer un nom de fichier ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour pointer explicitement vers Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>crtab6q4za4k9rq205wf9rudqvkglw8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987315</id>
      <parentid>987310</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:20:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 6. Lien vers Wikipédia */ Liens vers Wikipédia</comment>
      <origin>987315</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21479" sha1="luz96uf5qac78syvkbrnpkxznx0x0g2" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]&lt;/nowiki&gt;

Pour lier une catégorie Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Attention : sur Wikiversité, écrire simplement &lt;nowiki&gt;[[Fichier:...]]&lt;/nowiki&gt; peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki &lt;nowiki&gt;[[c:File:...]]&lt;/nowiki&gt; est souvent plus clair.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

Un lien externe utilise une seule paire de crochets.

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;

Affichage :

[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

Il ne faut pas écrire :

&lt;nowiki&gt;[[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]]&lt;/nowiki&gt;

Cette forme mélange lien interne et lien externe.

La bonne formule est :
&lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

=== Échapper inutilement les deux-points ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

=== Transformer un nom de fichier ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour pointer explicitement vers Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>luz96uf5qac78syvkbrnpkxznx0x0g2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987316</id>
      <parentid>987315</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:25:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 7. Lien externe simple */</comment>
      <origin>987316</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21297" sha1="hfpm1883zmo4vgzqwqe5vjf7ukigtcb" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]&lt;/nowiki&gt;

Pour lier une catégorie Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Attention : sur Wikiversité, écrire simplement &lt;nowiki&gt;[[Fichier:...]]&lt;/nowiki&gt; peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki &lt;nowiki&gt;[[c:File:...]]&lt;/nowiki&gt; est souvent plus clair.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

=== Échapper inutilement les deux-points ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet]]&lt;/nowiki&gt;

=== Transformer un nom de fichier ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour pointer explicitement vers Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>hfpm1883zmo4vgzqwqe5vjf7ukigtcb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987317</id>
      <parentid>987316</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:26:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Échapper inutilement les deux-points */ Suppression de la section</comment>
      <origin>987317</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21162" sha1="d658lvd4s5r03992xy3afnbsfd96ew6" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]&lt;/nowiki&gt;

Pour lier une catégorie Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Attention : sur Wikiversité, écrire simplement &lt;nowiki&gt;[[Fichier:...]]&lt;/nowiki&gt; peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki &lt;nowiki&gt;[[c:File:...]]&lt;/nowiki&gt; est souvent plus clair.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

=== Transformer un nom de fichier ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

À écrire si le fichier est sur Wikiversité ou Commons :

&lt;nowiki&gt;[[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour pointer explicitement vers Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:File - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>d658lvd4s5r03992xy3afnbsfd96ew6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987318</id>
      <parentid>987317</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:28:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Transformer un nom de fichier */ suppression de la section</comment>
      <origin>987318</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20745" sha1="073kvhj0b9qrdn2bdc1b9lzns4t49u1" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[c:File du discours.jpg|Titre du discours]]&lt;/nowiki&gt;

Pour lier une catégorie Commons :

&lt;nowiki&gt;[[c:Category de la servitude volontaire|Catégorie Commons : Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Attention : sur Wikiversité, écrire simplement &lt;nowiki&gt;[[Fichier:...]]&lt;/nowiki&gt; peut afficher ou appeler un fichier dans la page. Pour citer un fichier Commons comme source ou objet de travail, le lien interwiki &lt;nowiki&gt;[[c:File:...]]&lt;/nowiki&gt; est souvent plus clair.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>073kvhj0b9qrdn2bdc1b9lzns4t49u1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987319</id>
      <parentid>987318</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:53:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* 4. Lien vers Wikimedia Commons */</comment>
      <origin>987319</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21162" sha1="fwnlie01lrngb23wtddewnsivtqtn1p" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

=== Mélanger Markdown et wikicode ===

À éviter :

&lt;nowiki&gt;https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques&lt;/nowiki&gt;

Cette syntaxe appartient au Markdown, pas au wikicode.

Sur Wikiversité, écrire plutôt :

&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;

ou, pour un lien externe :

&lt;nowiki&gt;[https://fr.wikiversity.org/wiki/Bases_de_données_bibliographiques Bases de données bibliographiques]&lt;/nowiki&gt;

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>fwnlie01lrngb23wtddewnsivtqtn1p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987320</id>
      <parentid>987319</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:56:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Mélanger Markdown et wikicode */ Suppression de la section</comment>
      <origin>987320</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20723" sha1="4plp9pxmnvxxy0ijtistkmlbrcijnnz" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source
* Quel projet est concerné
* Quel type d’objet est mobilisé, et 
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire.

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>4plp9pxmnvxxy0ijtistkmlbrcijnnz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987324</id>
      <parentid>987320</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T23:16:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Conclusion */ Ponctuation</comment>
      <origin>987324</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20725" sha1="n8x0rzkuxa574led4y6oam4cq7nt07j" xml:space="preserve">== Puis-je vous aider ? ==

[[Fichier:A Spherical seed pods growing on a Leucaena leucocephala tree in Antalya DSF9189.png|100px|vignette|gauche|1 clic.&lt;br /&gt;[[Discussion_utilisateur:Ambre_Troizat|Par ici]]&lt;br /&gt;Écrire !]]
 
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
{{Utilisateur Aide}}
&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;

==  Méthodologie Wikimedia des liens : internes, interprojets, externes ==

=== Objectif de la leçon ===

Cette leçon vise à distinguer les principaux types de liens utilisés dans Wikiversité et dans les projets Wikimedia.
Elle répond à une difficulté fréquente : ne pas mélanger les liens internes, les liens interprojets, les liens vers des fichiers, les liens vers des catégories et les liens externes.

L’objectif est de produire un wikicode propre, lisible et maintenable.

==== Le bon usage des liens ====

La grammaire des projets Wikimedia repose sur un bon usage des liens.

Les liens mettent en réseau les projets.
Exemple : [[w:Wikipédia:Accueil_principal]] permet d'accéder à Wikipédia.
La formule la plus élégante est : &lt;nowiki&gt;[[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipédia:Accueil principal]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Elle écrit ceci dans le texte [[w:Wikipédia:Accueil_principal|fr.Wikipédia:Accueil principal]]. Ce qui signifie :''&quot;Vous êtes sur la page d'accueil du projet Wikimedia qui se nomme '''''fr.Wikipédia''''' en langue française''.

Warmings : un lien écrit en rouge est un lien mal codé.

Un lien peut permettre d'accéder directement aux articles de Wikipédia.
Exemple : [[w:Code noir]] permet d'accéder à l'article &quot;Code noir&quot; sur Wikipédia.
Il est plus élégant d'écrire : &lt;nowiki&gt;[[w:Code noir|Code noir]]&lt;/nowiki&gt;.
Ce style d'écriture écrit ceci dans le texte [[w:Code noir|Code noir]].

Warmings :  Ici, &lt;nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;Insérer ici un texte non formaté&lt;/nowiki&gt;&lt;/nowiki&gt; permet de voir la syntaxe du lien.

 ''Quelquefois, il faut être attentif''.
 ''Sur tous les projets Wikimedia, un article peut en cacher un autre''.
 ''C'est le cas avec l'[[w:Code noir|article &quot;Code noir]]. Pour bien comprendre cet article, il faut avoir lu l'article : [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]]''.

== 1. Lien interne à Wikiversité ==

Si vous êtes en train de travailler sur le projet Wikiversité, un lien interne renverra vers une page Wikiversité.&lt;br&gt;
 ''Un lien interne renvoie toujours vers le projet sur lequel vous êtes en train de travailler.''
 ''Un lien interne utilise une double paire de crochets.''
 
Exemple : &lt;br&gt;
Vous souhaiter consulter le projet &quot;Bases de données bibliographiques&quot;.&lt;br&gt;
Vous utiliserez la syntaxe : &lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera : [[Bases de données bibliographiques]]

Si vous souhaitez exprimer une idée qui se trouve sur la même page Wikiversité, vous pouvez le préciser grâce à la syntaxe :
&lt;nowiki&gt;[[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Votre texte affichera précisément l'idée que vous souhaitez exprimer.&lt;br&gt;
Exemple : [[Bases de données bibliographiques|méthodologie bibliographique]]

== 2. Lien vers une page de recherche Wikiversité ==

Les projets de recherche appartiennent à l’espace de noms ''&quot;Recherche:&quot;''.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
L'affichage sera le suivant : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]&lt;br&gt;

Vous pouvez utiliser un libellé qualifiant mieux ce que vous souhaitez trouver :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[Recherche abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Nous pouvons alors lire cette syntaxe [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage]] de manière littérale : &quot;''Trouve, sur Wikiversité, dans le domaine &quot;Recherche&quot;, la page intitulée &quot;Les abolitions des traites et des esclavages&quot;. Il s'agit d'un projet de recherche sur les abolitions de l'esclavage''.

== 3. Lien vers Wikisource ==

Pour lier une page de Wikisource depuis Wikiversité, on utilise le préfixe interwiki :

&lt;nowiki&gt;[[s: de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Exemple :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;

Avec un libellé :

&lt;nowiki&gt;[[s:de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire sur Wikisource]]&lt;/nowiki&gt;

Pour une discussion Wikisource :

&lt;nowiki&gt;[[s:Sujet|Échange à propos de A Dictionary of Books Relating to America]]&lt;/nowiki&gt;

== 4. Lien vers Wikimedia Commons ==
[[Fichier:Titre du discours.jpg|Mémoires de Discours de la servitude volontaire|100 px|vignette|gauche]]

Pour lier un fichier Commons, on utilise le préfixe : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|File:Titre du discours.jpg]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;

Mais, il saute aux yeux qu'il y a un problème.&lt;br&gt;
Il vaut mieux préciser l'objet dont on parle : &lt;nowiki&gt;[[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:File:Titre du discours.jpg|Mémoires de ''Discours'' de la servitude volontaire]]

Pour lier une catégorie Commons :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Le rendu donnera : [[c:Category:Discours de la servitude volontaire|Discours de la servitude volontaire]].

Vous pouvez également citer  une image. 
Dans ce cas, vous devez obligatoirement utiliser le ''modèle Image'' ad hoc.
Voir le rendu ci-contre.

== 5. Lien vers Wikidata ==

Pour citer un élément Wikidata, on utilise : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

L'exemple : &lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
S'affichera de la manière suivante quand vous aurez supprimé les doubles crochets : [[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]].

Si vous désirez un rendu plus élégant, il est préférable d'écrire :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;/nowiki&gt;. Ce qui produit le rendu suivant :
[[d:Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire|Contre la tirannie et tirans. La servitude volontaire]]&lt;ref&gt;Discours de la servitude volontaire d’Étienne de La Boétie est au programme de première du bac de français 2026-2027, associé au parcours &quot;Défendre et entretenir la liberté&quot; [https://www.education.gouv.fr/bo/2025/Hebdo30/MENE2518792N Programme national d'œuvres pour l'enseignement de français pour l’année scolaire 2026-2027].&lt;/ref&gt;.

Mais, plus élégant encore, s'agissant d'une référence bibliographique, vous pouvez utiliser le modèle bibliographique :&lt;br&gt;
{{bibliographie|Q116958879}}. Le petit crayon à la fin du rendu vous permettant d'accéder à l'item Wikidata correspondant.

 N. B. : ''On ne &quot;corrige&quot; pas un texte ancien. Sauf si on est un spécialiste et que l'on rédige un ouvrage sur le sujet''.

== 6. Liens vers Wikipédia ==

Pour citer Wikipédia depuis Wikiversité, on utilise :&lt;br&gt;
&lt;nowiki&gt;[[w:Titre de l’article|Titre de l’article]]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
Exemple : &lt;nowiki&gt;[[w:Étienne de La Boétie|Étienne de La Boétie]]&lt;/nowiki&gt;.

Vous pouvez faire varier selon vos besoins le texte après le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt;.&lt;br&gt;
Jamais celui avant le tube &lt;nowiki&gt; | &lt;/nowiki&gt; ; w: suivi du titre exact de l'article sur Wikipedia, quelque que soit la langue du projet.

Par exemple vous pouvez apporter des précisions : 
[[w:Code noir|Code noir]] peut devenir [[w:Code noir|Code noir&lt;ref&gt;Au XVIIIe siècle, sous Louis XV, à l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] rédigée par les Colbert père et fils et promulguée par Louis XIV, viennent s'ajouter un très grand nombre de texte législatif. Cf : [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]]. Ce qui produit de gros volumes.&lt;/ref&gt;]]. C'est une question de méthode et de style.

== 7. Lien externe simple ==

 Un lien externe utilise une seule paire de crochets.&lt;br&gt;
 Il y a un espace obligatoire entre le lien et le titre de la page web.

Exemple : &lt;nowiki&gt;[https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]&lt;/nowiki&gt;&lt;br&gt;
Affichage : [https://10mai94120.blogspot.com/ 10 mai Fontenay-sous-Bois]

== 8. Erreurs fréquentes ==

== 9. Règle pratique ==

Avant de créer un lien, poser trois questions :

La page est-elle sur Wikiversité ?

La page est-elle sur un autre projet Wikimedia ?

La page est-elle extérieure à Wikimedia ?

Réponse :

Wikiversité : &lt;nowiki&gt;[[Nom de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Wikisource : &lt;nowiki&gt;[[s:de la page]]&lt;/nowiki&gt;

Commons : &lt;nowiki&gt;[[c:File du fichier]]&lt;/nowiki&gt; ou &lt;nowiki&gt;[[c:Category de la catégorie]]&lt;/nowiki&gt;

Wikidata : &lt;nowiki&gt;[[d...]]&lt;/nowiki&gt;

Wikipédia : &lt;nowiki&gt;[[w de l’article]]&lt;/nowiki&gt;

Site extérieur : &lt;nowiki&gt;[URL libellé]&lt;/nowiki&gt;

== 10. Application au projet BnF — Catalogue de l’histoire de l’Amérique ==

Exemple de section corrigée :

&lt;nowiki&gt;
Liens de départ :

Discussion Wikisource : [[s:Sujet|Échange à propos de ''A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time'']]

Recherche Wikiversité : [[Recherche abolitions des traites et des esclavages]]

V1, 1903 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V1, 1903.djvu]]

V2, 1905 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V2, 1905.djvu]]

V3, 1907 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V3, 1907.djvu]]

V4, 1909 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V4, 1909.djvu]]

V5, 1911 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Amérique, V5, 1911.djvu]]

Catalogue de l’histoire de l’Océanie, 1912 : [[Fichier - Catalogue de l'histoire de l'Océanie, 1912.djvu]]

== Conclusion ==

Un lien n’est pas seulement une adresse : il indique la méthode à suivre pour trouver le chemin à parcourir.

Bien écrire les liens permet de savoir :
* Où se trouve la source ?
* Quel projet est concerné ?
* Quel type d’objet est mobilisé ?
* Comment le lecteur pourra vérifier le chemin documentaire ?

== Galerie ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496 (détail).png| Vittore Carpaccio - Miracle of the Relic of the Cross at the Ponte di Rialto, c. 1496. Détail montrant un Africain batelier à Venise, c. 1496
Fichier:Pieter Bruegel the Elder - The Fair of Saint George's Day - Google Art Project.jpg|400px|Pieter Bruegel the Elder.- La Foire de la Saint Georges, (1559 - 1562)
File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|400px|La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le quartier de l'Alfama, à Lisbonne. Néerlandais, vers 1570-80&lt;ref&gt;Cf. Abbé Grégoire.&lt;/ref&gt;
File:Portrait of Zaga Christ Giovanna Garzoni, 1635.jpg|Giovanna Garzoni.- Portrait de Zaga Christ, Ethiopie [[d:Zaga Christ|(c. 1608-1638)]]
File:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670
File:Portrait of a Boy, Gerrit Dou, c. 1630, oil on panel, 42 by 33.5 cm, Niedersächsisches Landesmuseum Hanover.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630
File:Dou, Gerrit Bildnis eines Mohren@Nieders. Landesmuseum 20161103.jpg|Gerrit Dou.- Portrait of an African Boy, c. 1630-1635
File:Francis williams.jpg|Francis Williams (c.1690-c.1770), The Scholar of Jamaica, poet
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Saint-George (Joseph Bologne de Saint-George) in blue.png|Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799) in blue
File:Portrait d'un jeune Noir.JPG| Portrait d'un jeune African-Brésilian. Probablement réfugié à la Guadeloupe avec ses parents Hollandais. Entre 1750 et 1800. Musée d'Aquitaine, Bordeaux.
File:Alexandre Dumas (1762-1806).JPG|Portrait équestre de Alexandre Dumas (1762-1806)
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
File:Alexandre Dumas Nadar.jpg|Alexandre Dumas (1802-1870), par Félix Tournachon, dit Nadar (1820-1910)
File:Albert schindler, ritratto di un giardiniere e suonatore di corno, domestico dell'imperatore francesco, 1836.jpg|Albert Schindler, 1805–1861.- Portrait of [[w:Emmanuel Rio|Emmanuel Rio]], a Gardener and Horn Player in the Household of the [https://www.artic.edu/artworks/184372/portrait-of-emmanuel-rio Emperor Francis I]
File:Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha72585 157459.png|1897 - Franz von Matsch.- William Nii Nortey Dowuona, mnha
&lt;/gallery&gt;&lt;gallery&gt;
Fichier:Développement humain depuis -60 000.png|Développement humain depuis -60 000
Fichier:Marque distinctive St-Georges France.png|[https://books.google.fr/books?id=FqNLAAAAMAAJ&amp;lpg=PA333&amp;ots=f3SqpCx9iB&amp;dq=Philibert%20de%20Miolans&amp;hl=fr&amp;pg=PA333#v=onepage&amp;q=Philibert%20de%20Miolans&amp;f=false Philibert de Miolans].- Marque distinctive de l’ordre de Saint-Georges, France, 1390
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|150px|vignette|Monsieur de St-George]]
[[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|150px|vignette|Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838]]
[[File:Blaise Diagne et Gratien Candace (1921).png|150px|vignette|Gratien Candace &amp; Blaise Diagne]]
[[Fichier:Boat People from Haiti.jpg|150px|vignette|Boat People, Haïti]]
[[File:Michael Jackson 1984 (cropped) 2.jpg|150px|vignette|Michaël Jackson à la Maison Blanche, 1984]]
[[File:MICF - Travail sur le Code Noir par les Etudiants de St Claude, Guadeloupe .png|150px|vignette|MICF - [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016]]-[[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017]] - [[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|Le Code Noir]] par les Étudiants de l'Université de la Guadeloupe, Saint-Claude&lt;ref&gt;L'article &quot;Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique&quot; a été créé par les étudiants sous la direction de leur professeur Jean-François Niort et l'article [[w:Code noir|Code noir]] a été amélioré, particulièrement dans son introduction qui précise le sens de l'expression &quot;Code noir&quot; et les objectifs de l'ensemble des textes constituants les différents recueils intitulés &quot;Code noir&quot; du {{S|XVII}} au {{S|XIX}}. C'est-à-dire les [[c:File:Code Noir, définition dans Armand-Gaston Camus, &quot;Lettres sur la profession d'avocat, 1772.png|règlement concernant les colonies]] de 1683 à 1848.&lt;/ref&gt;]]

== Qui suis-je ?  ==

Contribuant aux projets Wikimedia, utilisant les Big Data, plusieurs projets Wikimedia, les logiciels libres &amp; les distributions Emmabuntus et Emma DE, je suis devenue une historirienne spécialisée dans la recherche à propos de Joseph Bologne Chevalier de Saint-George &amp; Gratien Candace,

J'ai fait mes études à Paris 7 Denis Diderot entre 30 &amp; {{Unité|40|ans}}. Mes mémoires ont été rédigés sous la direction de Jean Piel&lt;ref&gt;[https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Jean PIEL In memoriam, Institut des Amériques]&lt;br /&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=FCkVu0pNFOU&amp;list=PLe-PDf4w60sZqRdiH3JK7KgFhtIoumTkV Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel]&lt;/ref&gt;. Je collabore avec Florence Gauthier, spécialiste du droit naturel &amp; de la Révolution française.

Florence Gauthier a créé l'équipe de recherche Révolution-francaise.net dont le [https://revolution-francaise.net/ site]&lt;ref&gt;[[d:Q22829088|Révolution Française.net]]&lt;/ref&gt; est sous licence Creative Commons CC-By-nc-nd : ''Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification''&lt;ref&gt;[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ CC-By-nc-nd]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Révolution Française.net interroge les catégories du politique en les inscrivant dans le champ des études révolutionnaires. Son ambition est de favoriser les croisements disciplinaires et d'articuler les problématiques de la recherche historique et les préoccupations du temps présent.|'''Révolution Francaise'''.net&lt;ref&gt;[https://revolution-francaise.net/qui-sommes-nous Révolution Francaise.net/Qui sommes-nous ?]&lt;/ref&gt;}}

Les recherches de cette équipe de travail portent sur la Révolution française, la fin des colonies, l'abolition des esclavages &amp; servitudes analysées sous l'angle du droit naturel&lt;ref&gt;Voir également : [http://www.lecanardrépublicain.net/Le Canard Républicain]&lt;/ref&gt;.

[[Fichier:Guerra de independencia.png|600px|vignette|centré|Guerres des Indépendances&lt;ref&gt;[[c:Category:American Revolutionary War|Category:American Revolutionary War]].&lt;/ref&gt;]]

Pour ma part, j'étudie les abolitions des traites et des esclavages en m'appuyant sur deux personnages liés à la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] : [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne de Saint-George]] &amp; [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]].

Pour ce faire je travaille ''sur-&amp;-avec'' les projets Wikimedia : surtout Wikisource, Commons &amp; Wikipedia. Le développement de ces projets, mes capacités de formation autodidacte &amp; collaborative puis à mettre en œuvre toutes les potentialités des projets au profit de la rédaction d'une thèse, influencent les progrès de mon travail de recherche depuis 2006.

J'utilise depuis le mois de mars 2016 Wikidata pour la construction de mes sources &amp; de ma bibliographie. Wikidata permet de gérer une bibliothèque et des sources à la dimension de l'Internet. Mon objectif est que le lecteur parviennent &quot;en deux clics&quot; aux documents &amp; ouvrages qui ont servi à l'argumentation.

Wikiversité est l'espace numérique carrefour où je rédige des notes, la bibliographie par ordre chronologique, la chronologie, et, pour l’heure, des ébauches de rédaction.

 Me contater :
 Je prie le visiteur de ne pas modifier mes pages et je l’invite à communiquer avec moi via ma page de discussion :
 '''[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 21 mai 2017 à 11:37 (UTC)'''

== Pages suivantes ==

 [[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]]
 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]], [[Département:Histoire moderne|Département d'histoire moderne]] &amp; [[Département:Histoire contemporaine|contemporaine]]
 [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, bibliographie]]

 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XX-XXIe_siècles#Ouvrages,_XXIe_siècle_:_2010_-_2019|'''Poursuivre le classement à partir de Ouvrages, XXIe siècle : 2010 - 2019. Séparer les decennies''']].
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* [[d:Help:À propos des données|Wikidata : Aide à propos des données]]

=== Mois de la contribution francophone 2023, Bourges ===
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges|Utilisateur:Ambre Troizat/Mois de la contribution francophone 2023, Bourges]]

Conférence proposée par le [[d:Q111346077|Mois international de la contribution francophone]] &amp; le Groupe Wikimédien local de Bourges.

== Echanges avec les contributeurs ==
* 17 janvier 2023 à 17:56 Crochet.david (sur ma requête [[Spécial:Lien_permanent/891361#c-Ambre_Troizat-20230117150200-Transférer_des_données_d'une_page_vers_une_autre|Transférer des données d'une page vers une autre]], [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023)]] a déplacé la page ''Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire'' vers [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] sans laisser de redirection

&lt;Center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Cheminée clairefontaine.jpg| Naissance de Joseph Bologne en 1745 à la Guadeloupe
File:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|Madame Saint-George obtient la permission d'amener Nanon &amp; Joseph en France
File:1753 George St. Georges and Nanon 3.jpeg|Un Saint-George et un mulâtre nommé Joseph arrivent des colonies en 1753.
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Saint-George D'Eon Robineau.jpg
File:The Chevalier de St-George.jpg
File:Monsieur de St-George.jpg

&lt;/gallery&gt;
&lt;/Center&gt;

== Notes &amp; Références  ==
[[Fichier:Sargent - W.A. Mozart, after the portrait by an unknown painter, 1777, in the Liceo Musicale, Bologna, 2422.jpg|100px|vignette|gauche|W.A. Mozart]]
{{Références}}</text>
      <sha1>n8x0rzkuxa574led4y6oam4cq7nt07j</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Quatrième (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>47095</id>
    <revision>
      <id>987337</id>
      <parentid>965530</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:51:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>rajout du lien vers le tableau des correspondances</comment>
      <origin>987337</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="272" sha1="5y9m4f9sqyoma592c6vq15adoq8z20n" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
La '''quatrième''' ([[Aide:Niveau/Niveau 9|niveau 9]] ; cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]) est la troisième classe du [[Scolarité en France/Collège|collège]] en France.

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>5y9m4f9sqyoma592c6vq15adoq8z20n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Cinquième (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>47096</id>
    <revision>
      <id>987340</id>
      <parentid>965529</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:57:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>rajout du lien vers le tableau des correspondances avec les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987340</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="271" sha1="1ocjhskagkosrzd3jtwaumb8nwy6jsn" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
La '''cinquième''' ([[Aide:Niveau/Niveau 8|niveau 8]] ; cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]) est la deuxième classe du [[Scolarité en France/Collège|collège]] en France.

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>1ocjhskagkosrzd3jtwaumb8nwy6jsn</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Troisième (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>47097</id>
    <revision>
      <id>987338</id>
      <parentid>965531</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:54:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>rajout du lien vers le tableau des correspondances avec les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987338</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="287" sha1="k0wbm3x9wxtwlz40g1fup31s8s0ffec" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
La '''troisième''' ([[Aide:Niveau/Niveau 10|niveau 10]] ; cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]) est la quatrième et dernière classe du [[Scolarité en France/Collège|collège]] en France.

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>k0wbm3x9wxtwlz40g1fup31s8s0ffec</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Sixième (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>47098</id>
    <revision>
      <id>987339</id>
      <parentid>965528</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:55:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>rajout du lien vers le tableau des correspondances avec les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987339</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="269" sha1="0b5vcu6cah46k32v82vrn335lx971ui" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
La '''sixième''' ([[Aide:Niveau/Niveau 7|niveau 7]] ; cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]) est la première classe du [[Scolarité en France/Collège|collège]] en France.

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>0b5vcu6cah46k32v82vrn335lx971ui</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Département:Planétologie et Exogéologie/Présentation du département</title>
    <ns>108</ns>
    <id>73668</id>
    <revision>
      <id>987334</id>
      <parentid>987299</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:38:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>Ajoût de l'arbre des catégories, grace à {{u|Lionel Scheepmans}}, merci à lui</comment>
      <origin>987334</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3290" sha1="545fdv80w1otknmak3exregvrwp57lk" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
La '''planétologie''' et l’'''exogéologie''' s'intéressent aux '''objets du Système solaire''', au-delà de ce qui est accessible au géologue proprement dit, mais d'ores et déjà en grande partie accessible à l'exploration spatiale robotisée.

Doyenne sur ces interrogations, la planétologie utilise la lumière, au sens large, pour observer et comprendre les objets, à travers ou, depuis un demi-siècle, depuis l'espace inter-planétaire. L'exogéologie, essentiellement née avec le XXIè siècle, utilise, pour l'instant, des moyens robotisés, pour s'approcher de ces objets, les étudier visuellement, mais aussi analytiquement par échantillonnage et mesures, soit sur place, soit par retour d'échantillons sur Terre.

Il n'existe réellement pas de délimitation entre ces deux disciplines, mais de plus en plus un continuum de méthodes, et des scientifiques formé·e·s selon les deux voies historiques. Toutefois, la diversité des objets que nous découvrons encore à chaque regard rapproché, et des contextes où ils évoluent, et l'actuelle ''éticité'', indigence, de nos compréhensions les concernant, ce qui nous les rend complexes à étudier, nous réduit pour l’instant à ne savoir utiliser que les deux types familiers d'approches méthodologiques, que sont celles communes à l'observation astronomique, ici focalisée sur le Système solaire, c'est la planétologie, et celles communes aux études des terrains de notre planète, c'est l'exogéologie&lt;ref&gt;… et on oubliera sur le double paradoxe de ce mot, avec l’extension du &quot;géo&quot; au Système solaire, et, faute d'un usage du terme &quot;exogéosciences&quot;, l'extension des méthodologies, celles essentiellement observationnelles de la géologie dans son sens restreint historique et contemporain, en y intégrant les méthodes géochimiques et celles géophysiques, bref les sciences de la Terre, les géosciences.&lt;/ref&gt;.

Notons que la '''météoritologie''', qui par ses méthodes emprunte complètement aux géosciences, et par ses questionnements, dépasse la seule planétologie du Système solaire pour aborder celle des formations d'étoiles, disques planétaires et autres systèmes exoplanétaires, voire les questions très astrophysiques des nucléosynthèses, a vocation à intégrer totalement ce département, notamment parce qu'elle préfigure, et ce depuis longtemps, les retours d'échantillons extraterrestres.

Il est donc évident que ce département est tout autant vocation à être rattaché aux facultés [[Faculté:Géologie|de géologie]] que [[Faculté:Astronomie|d’astronomie]], voire très probablement d'ici une ou deux décennies, à devenir lui-même faculté, divers sous-départements démontrant déjà leurs identités (formation et évolution du Système solaire, planètes telluriques, géantes gazeuses, astéroïdes et comètes, anneaux planétaires, planétoïdes et satellites de glaces, interactions Soleil-planètes, voire systèmes exoplanétaires, disques planétaires, …), au sein d'une wikiversité des sciences de la Terre, des Planètes, de l'Univers.

=== Arbre des catégories des pages sous celle-ci ===
{{ #categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}

=== Notes ===
{{Références}}

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>545fdv80w1otknmak3exregvrwp57lk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie</title>
    <ns>0</ns>
    <id>74574</id>
    <revision>
      <id>987325</id>
      <parentid>987297</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T02:20:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987325</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="301876" sha1="arjtgk7af1jkej983eyrhb5vx5fka6g" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ;


{{Al|5}}en notant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\;\Delta_G&lt;/math&gt;, le vecteur rotation instantanée se réécrit &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt;, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>arjtgk7af1jkej983eyrhb5vx5fka6g</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987326</id>
      <parentid>987325</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T02:21:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987326</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="301876" sha1="88b2dpyzz5qynpjjr7xxd2d8v84p5v5" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ;


{{Al|5}}en notant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\;\Delta_G&lt;/math&gt;, le vecteur rotation instantanée se réécrit &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt;, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>88b2dpyzz5qynpjjr7xxd2d8v84p5v5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987327</id>
      <parentid>987326</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T02:24:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987327</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="301887" sha1="n9v0m78ewyyj0zdnxldfg9ugdma2zek" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ;


{{Al|5}}en notant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\;\Delta_G&lt;/math&gt;, le vecteur rotation instantanée se réécrit &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_G\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt;, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>n9v0m78ewyyj0zdnxldfg9ugdma2zek</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987329</id>
      <parentid>987327</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:53:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987329</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="303113" sha1="j8fhsnq07ynywi9sibzcbf55prvh2jd" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; d'où 


la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>j8fhsnq07ynywi9sibzcbf55prvh2jd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987330</id>
      <parentid>987329</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:55:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987330</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="303132" sha1="d87138alw6yryha8dzxeut5sbktgim1" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 


la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>d87138alw6yryha8dzxeut5sbktgim1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987331</id>
      <parentid>987330</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:10:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987331</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="303861" sha1="olg7py8z0j9l5z8nk3d9wahiwc1o5b0" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;movement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et &lt;br&gt;un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du solide.&lt;/center&gt;

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>olg7py8z0j9l5z8nk3d9wahiwc1o5b0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987332</id>
      <parentid>987331</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:21:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987332</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="304294" sha1="po9w0tukzqw5m2dx8c7qtouzo85qf68" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>po9w0tukzqw5m2dx8c7qtouzo85qf68</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987333</id>
      <parentid>987332</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:23:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » */</comment>
      <origin>987333</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="304305" sha1="1pmlekj102jyxesi6djvh6l8jz4t5f2" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 11
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ==

=== Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot;&gt; Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}s'écrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) ===

{{Al|5}}La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement « quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dynamique relativiste&quot; /&gt; se réécrit, dans le cas où &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, pour lequel &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; a pour forme &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}intrinsèque «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; soit, en explicitant &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;&lt;/math&gt;» se réécrit, }}dans la définition de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui laisse ce dernier invariant &lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte par permutation circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; vecteur moment de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; se réécrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot;&gt; Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big[A\,&lt;/math&gt; étant un point fixe quelconque de l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation du point &lt;math&gt;\,M\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\big[\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit au final &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme nettement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de « mouvement quelconque » &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt;  appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression peu utilisée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. aussi de mouvement circulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, }}pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}dans le cas où le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement « circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.&lt;/ref&gt;, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;traduction symbolique de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre est la puissance de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)&lt;/math&gt;, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre, avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C ==

=== Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; décrivant un mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : 

{{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; calculés, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par rapport au centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d’inertie de &lt;math&gt;\,M \,&lt;/math&gt; par rapport à son axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref&gt; C.-à-d. l'axe du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;&lt;/math&gt;» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;». ”

=== « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen ===

{{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; fixes dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}de moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;&lt;/math&gt;» et de vecteur rotation instantanée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le but de faire apparaître, dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, après utilisation de la distributivité de &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» représente la puissance cinétique du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; lors de son mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» en effet, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie constant&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» étant une constante caractérisant la trajectoire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous retrouvons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans un mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; » «&lt;math&gt;\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à M&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;grandeur cinétique énergétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe ==

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === 

{{Al|5}}Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; prend la forme ci-dessous :

{{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire d’axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen et de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet, définissant &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)  = m\;R^2\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\;(m)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon &lt;math&gt;\,R\;&lt;/math&gt;&lt;reF&gt; On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,&lt;/math&gt; est le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;utilisée moins fréquemment&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pratiquement jamais utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle la relation &lt;math&gt;\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,&lt;/math&gt; avec }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

== Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide ==

=== Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)&lt;/math&gt;, extérieur à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de forces extérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par chaque force extérieure &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi&quot;&gt; En notant &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».

==== Cas d’un « système de matière en translation » ====

{{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points matériels &lt;math&gt;\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ont }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre de la « relation &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; » par «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;résultante dynamique exercée sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la résultante dynamique exercée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d’où &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,&lt;/math&gt; est aussi « }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.&lt;/ref&gt;.

==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ====

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; avec, à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la même vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; pour tous les points &lt;math&gt;\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Système indéformable dans la pratique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; se comportant, dans ce cas &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le seul que nous envisageons dans la suite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrivant selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression de la puissance d'une force avec M en rotation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, d'où finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étan le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit finalement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)
 \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,\in\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, soit au final «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;axe mobile ou immobile dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée.

==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ====

{{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'un solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot;&gt; Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;inapplicable à un système déformable&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;», s'écrit selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par commutativité du produit scalaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet on reconnaît dans &lt;math&gt;\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; » ;

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'obtient par « relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Par facorisation scalaire de &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme et de &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus loin dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, exercé, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur ce dernier dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant}} à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des moments résultants vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, l'expression suivante «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; se réécrit selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; vecteur unitaire orientant &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée du &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}solide autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,&lt;/math&gt; est le &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }} moment résultant dynamique scalaire &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; exercé sur le solide par rapport à &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire &quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; 

{{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en mouvement quelconque &lt;ref name=&quot;mouvement quelconque&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Forme légèrement plus utilisée que la précédente «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s'obtenant en ajoutant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\,&lt;/math&gt; passant par le &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du solide «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude ===

{{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

==== Définition ====

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;», on définit 

{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; comme la somme des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par chaque force intérieure &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)
 \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Autres expressions équivalentes ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;On peut associer les forces par couple &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\;&lt;/math&gt; dans la relation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;&lt;/math&gt; explicitant la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», puis &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation introduite dans le principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» pour factoriser scalairement &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot; /&gt; le terme entre crochets par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui donne «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt;» ou,

{{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» on obtient «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles &lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, du « vecteur position relative &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|11}}en définissant le « référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», la grandeur vectorielle «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt; est encore égale à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative  à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation&quot;&gt; En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.&lt;math&gt;25&lt;/math&gt; de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de &lt;math&gt;\;33\;&lt;/math&gt; ans.&lt;/ref&gt; et par suite

{{Al|11}}la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, se réécrit selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Si on remplace la double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» par une double somme discrète sur &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; variant dans &lt;math&gt;\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;&lt;/math&gt; avec la contrainte &lt;math&gt;\;j \neq i\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», on compte deux fois chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;ref&gt; En effet le terme générique «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = j_0 &gt; i = i_0\;&lt;/math&gt;» de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;aussi terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &gt; i\big)\;&lt;/math&gt; étant égal au terme générique de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme sous condition &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;j = i_0 &lt; i = j_0\;&lt;/math&gt;» car &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'une part et &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;&lt;/math&gt; d'autre part, chaque terme de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme se retrouve tel quel dans la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme avec &lt;math&gt;\;j &gt; i\;&lt;/math&gt; mais aussi sous une forme résultant de la permutation &lt;math&gt;\;i \leftrightarrow j\;&lt;/math&gt; du terme précédent conduisant à &lt;math&gt;\;j &lt; i\;&lt;/math&gt; d'où la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; double somme égale à deux fois la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; double somme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i}
 \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]]
 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;des forces que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points &lt;math&gt;\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;&lt;/math&gt; des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur tous les autres points «&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
==== Conséquences diverses ====

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est non nulle dans le cas général soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; dans le cas général » &lt;ref name=&quot;Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que &lt;u&gt;la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, &lt;u&gt;la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures&lt;/u&gt;, la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; celle du mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « &lt;u&gt;on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|11}}la raison étant que les relations «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)&lt;/math&gt;, lesquels sont, en général, individuellement non nuls &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si le système de matière est indéformable&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'où « la non nullité de &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» sauf cas particuliers &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;à préciser&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;En repérant le point «&lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour base sphérique liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}la « force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot; /&gt; à savoir &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une même expression par permutation de &lt;math&gt;\;i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;j\;&lt;/math&gt; (C.Q.F.D.) &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;» et simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt;», à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;&lt;/math&gt;», s’écrit, dans la « base sphérique de &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et on en déduit &lt;br&gt;{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, à savoir, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; étant orthonormée d'où finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)
 = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( S \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on a {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\in \left( S \right)^2\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\in \left( \Gamma \right)^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et on en déduit que la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

== Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

==== Énoncé ====

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

==== Démonstration ====

{{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle est semblable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;bien qu'un peu plus lourde d'exposition&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;&lt;/math&gt; à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance cinétique appliqué à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s'écrit : 
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;&lt;/math&gt;» pour &lt;math&gt;\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; relations ainsi définies «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot;&gt; La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale volumique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, si ce système est d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale surfacique sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou ce système est d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; par une intégrale curviligne sur l'expansion &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;somme continue&quot; /&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition &lt;ref&gt; Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.&lt;/ref&gt; est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du système s'écrit :
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point «&lt;math&gt;\;M\, \left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;» d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;»}} est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; c.-à-d. à la puissance cinétique du système «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» définit la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures appliquées au système «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et 
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«&lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|&lt;sup&gt;37&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, 
{{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels &lt;ref&gt; Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|&lt;sup&gt;57&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|&lt;sup&gt;59&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|&lt;sup&gt;61&lt;/sup&gt;]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|&lt;sup&gt;63&lt;/sup&gt;]] » présentées plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide au sens de la mécanique&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot;&gt; Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le moment scalaire étant évalué par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de l'énergie cinétique &lt;ref name=&quot;puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;M_i,\;\;i \neq j\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, on définit d’abord 
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point
 &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\;\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\;\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dans lesquelles «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;»,}} on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; puis «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ;
&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; de «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; est le référentiel lié à &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», on tire «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; décrivant dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi}} que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot;&gt; 
Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d
 \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big\}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;&lt;/math&gt;» étant tangent à la trajectoire particulière &lt;math&gt;\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» et le travail de ces forces sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Ayant établi au paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » on en déduit que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; »}} et que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; est en général non nul mais il le devient si le système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; c.-à-d. {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».}}

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot;&gt; C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, 
* on multiplie par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; puis 
* on intègre entre &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; galiléen soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt; est la variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque - bis&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;»}} dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt; est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon Mécanique 1 (PCSI)&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[G\;&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et
* de la variation de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
{{Al|5}}un « système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;seul cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans sa rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\;\Delta t\;&lt;/math&gt; d'où :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»}} soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, en dynamique newtonienne, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_\Delta\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[\theta(t)\;&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
}}</text>
      <sha1>1pmlekj102jyxesi6djvh6l8jz4t5f2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CP (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>79014</id>
    <revision>
      <id>987342</id>
      <parentid>954574</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:25:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>ajout du lien vers le niveau international correspondant, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987342</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="794" sha1="kdbt7atquwgubrwn34oasqqa5ddosp7" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
En [[Scolarité en France|France]], le '''cours préparatoire''' (en abrégé '''CP''') est la première année de l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] et du cycle 2. Il correspond au [[Aide:Niveau/Niveau 2|niveau international 2]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]). Il a pour objectif d'enseigner à l'écolier·e les fondamentaux pour toutes ses études futures, en particulier à :
{{Début de colonnes|nombre=2|taille=12}}
* lire le français de manière fluide,
* écrire avec soin et dans une bonne orthographe,
* compter et effectuer des opérations mathématiques simples,
* effectuer des premiers repérages historiques et géographiques.
{{Fin de colonnes}}


{{AutoCat}}</text>
      <sha1>kdbt7atquwgubrwn34oasqqa5ddosp7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CE1 (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>79016</id>
    <revision>
      <id>987343</id>
      <parentid>937719</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:27:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>ajout du lien vers le niveau international correspondant, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987343</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="544" sha1="5j18e455s792adho83y6o16ow8ayr4o" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
En [[Scolarité en France|France]], le '''cours élémentaire première année''' (en abrégé '''CE1''') est la deuxième année de l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] et du cycle 2, après le [[CP (France)|cours préparatoire]] (CP). Il est suivi par le [[CE2 (France)|cours élémentaire deuxième année]] (CE2). Il correspond au [[Aide:Niveau/Niveau 3|niveau international 3]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]). 

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>5j18e455s792adho83y6o16ow8ayr4o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CE2 (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>79017</id>
    <revision>
      <id>987344</id>
      <parentid>937720</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:30:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>ajout du lien vers le niveau international correspondant, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987344</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="570" sha1="b5ldbbyu2jz8vw82buvej2dtrs2rmre" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
En [[Scolarité en France|France]], le '''cours élémentaire deuxième année''' (en abrégé '''CE2''') est la troisième année de l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] et la dernière du cycle 2, après le [[CE1 (France)|cours élémentaire première année]] (CE1). Il est suivi par le [[CM1 (France)|cours moyen première année]] (CM1). Il correspond au [[Aide:Niveau/Niveau 4|niveau international 4]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]). 


{{AutoCat}}</text>
      <sha1>b5ldbbyu2jz8vw82buvej2dtrs2rmre</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CM1 (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>79018</id>
    <revision>
      <id>987346</id>
      <parentid>937721</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:35:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>ajout du lien vers le niveau international correspondant, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987346</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="562" sha1="2j0s8gcmo4e8gai0rcuw7vxol5i4xhg" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
En [[Scolarité en France|France]], le '''cours moyen première année''' (en abrégé '''CM1''') est la quatrième année de l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] et la première du cycle 3, après le [[CE2 (France)|cours élémentaire deuxième année]] (CE2). Il est suivi par le [[CM2 (France)|cours moyen deuxième année]] (CM2). Il correspond au [[Aide:Niveau/Niveau 5|niveau international 5]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]). 


{{AutoCat}}</text>
      <sha1>2j0s8gcmo4e8gai0rcuw7vxol5i4xhg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>CM2 (France)/Présentation de la structure</title>
    <ns>0</ns>
    <id>79019</id>
    <revision>
      <id>987348</id>
      <parentid>975720</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:37:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>ajout du lien vers le niveau international correspondant, ainsi que le tableau des correspondances avec tous les niveaux internationaux</comment>
      <origin>987348</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="578" sha1="ckz24tyy8unainxajc0wk7dt6q10pd8" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
En [[Scolarité en France|France]], le '''cours moyen deuxième année''' (en abrégé '''CM2''') est la cinquième et dernière année de l'[[Scolarité en France/Élémentaire|école élémentaire]] et la deuxième du cycle 3, après le [[CM1 (France)|cours moyen première année]] (CM1). L'école élémentaire est suivie par le [[Scolarité en France/Collège|collège]]. Il correspond au [[Aide:Niveau/Niveau 6|niveau international 6]] (cf. le [[Wikiversité:Niveaux|tableau de correspondance avec les niveaux internationaux]]). 

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>ckz24tyy8unainxajc0wk7dt6q10pd8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC</title>
    <ns>4</ns>
    <id>85584</id>
    <revision>
      <id>987321</id>
      <parentid>986237</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T23:07:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Pour */ Pour</comment>
      <origin>987321</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15724" sha1="6ibobq0aj8839y0ymg3mlkz7jdglxzi" xml:space="preserve">{{Boîte colorée
|titre=
|titre-couleur-fond=#D33
|titre-couleur=#FFF
|contenu=
== Remettre au format initial les cours au format MOOC ==

Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. 

L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ».

Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]].

Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&amp;oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026.

}}

== Discussion ==

=== Changement d'avis ===
Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. 

Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) 

=== Première Discussion ===
Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique...
Par contre, il est évident que ce cours est &quot;super bien fait&quot; et qu'il mérite qu'on le corrige...
Tentative d'éclaircissement en live : 
# ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment...
:: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (&lt;small&gt;''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; &quot;@Éric38fr&quot;, qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''&lt;/small&gt;), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC).
# Ce que j'intuite comme pouvant être une cause !
## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. 
###L'auteur en a réalisé une version MOOC. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV.
## Ce qui aurait existé séquentiellement : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), 
###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé &quot;le truc en attente&quot;...
# Pour corriger il y a plusieurs solutions :
## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause...
## &quot;méthode bourrin&quot; : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction
## &quot;entre les deux premières&quot; : 
###on audite toutes les dysfonctions, 
###on établit une solution par type de PB, 
###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. 

En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification &quot;enchassée &quot; par les suivantes...

Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!)

Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer...
Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC)
:[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC)
::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ?  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 19 avril 2025 à 23:03 (UTC)
:::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question :
:::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois)
:::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres &quot;précédent&quot; et &quot;suivant&quot; de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.)
:::# alors il faut
:::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}}
:::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a)
:::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision.
:::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC)
::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC)
:::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;
:::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC)
:::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 18:02 (UTC)
::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 21:33 (UTC)
:::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 22:55 (UTC)
::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 21 avril 2025 à 10:29 (UTC)
:::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC)
::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 22 avril 2025 à 16:11 (UTC)
: Bonjour,
: J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire.
: En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la  Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC)
===Réparer avant d'enlever===
Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que &quot;Faire et défaire c'est toujours travailler&quot;... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère &quot;Comprendre et intervenir&quot;. Je suis donc contre le fait d'enlever &quot;la couche MOOC&quot; sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

:Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC)
::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC)
===trouver les ressources===
Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) 
:Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC)
::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 29 avril 2025 à 08:56 (UTC)

'''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]'''

== Avis ==

Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET).

Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ?

=== Pour ===

* {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC)
* {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC)
* {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC)
* {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC)
* {{pour}}. Je comprends mieux le problème aujourd'hui. De plus, il me semble qu'un gros effort est fait pour améliorer ces Moocs. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 12 octobre 2026 à 23:07 (UTC)

=== Contre ===
* {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

=== Neutre ===

* {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC)
* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC)
* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC)

== Résultats ==

{{Résultat vote
 | pour = 4
 | contre = 1
 | neutre = 3
 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC)
}}</text>
      <sha1>6ibobq0aj8839y0ymg3mlkz7jdglxzi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987322</id>
      <parentid>987321</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T23:09:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <comment>/* Neutre */ Changement d'avis sur le sujet suite à des arguments que je comprends mieux.</comment>
      <origin>987322</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15586" sha1="0sdql92dzt9patywnafbokcbkzhfnq1" xml:space="preserve">{{Boîte colorée
|titre=
|titre-couleur-fond=#D33
|titre-couleur=#FFF
|contenu=
== Remettre au format initial les cours au format MOOC ==

Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. 

L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ».

Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]].

Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&amp;oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026.

}}

== Discussion ==

=== Changement d'avis ===
Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. 

Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) 

=== Première Discussion ===
Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique...
Par contre, il est évident que ce cours est &quot;super bien fait&quot; et qu'il mérite qu'on le corrige...
Tentative d'éclaircissement en live : 
# ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment...
:: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (&lt;small&gt;''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; &quot;@Éric38fr&quot;, qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''&lt;/small&gt;), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC).
# Ce que j'intuite comme pouvant être une cause !
## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. 
###L'auteur en a réalisé une version MOOC. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV.
## Ce qui aurait existé séquentiellement : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), 
###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé &quot;le truc en attente&quot;...
# Pour corriger il y a plusieurs solutions :
## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause...
## &quot;méthode bourrin&quot; : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction
## &quot;entre les deux premières&quot; : 
###on audite toutes les dysfonctions, 
###on établit une solution par type de PB, 
###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. 

En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification &quot;enchassée &quot; par les suivantes...

Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!)

Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer...
Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC)
:[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC)
::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ?  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 19 avril 2025 à 23:03 (UTC)
:::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question :
:::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois)
:::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres &quot;précédent&quot; et &quot;suivant&quot; de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.)
:::# alors il faut
:::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}}
:::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a)
:::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision.
:::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC)
::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC)
:::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;
:::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC)
:::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 18:02 (UTC)
::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 21:33 (UTC)
:::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 22:55 (UTC)
::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 21 avril 2025 à 10:29 (UTC)
:::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC)
::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 22 avril 2025 à 16:11 (UTC)
: Bonjour,
: J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire.
: En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la  Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC)
===Réparer avant d'enlever===
Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que &quot;Faire et défaire c'est toujours travailler&quot;... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère &quot;Comprendre et intervenir&quot;. Je suis donc contre le fait d'enlever &quot;la couche MOOC&quot; sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

:Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC)
::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC)
===trouver les ressources===
Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) 
:Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC)
::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 29 avril 2025 à 08:56 (UTC)

'''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]'''

== Avis ==

Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET).

Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ?

=== Pour ===

* {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC)
* {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC)
* {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC)
* {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC)
* {{pour}}. Je comprends mieux le problème aujourd'hui. De plus, il me semble qu'un gros effort est fait pour améliorer ces Moocs. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 12 octobre 2026 à 23:07 (UTC)

=== Contre ===
* {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

=== Neutre ===

* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC)
* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC)

== Résultats ==

{{Résultat vote
 | pour = 4
 | contre = 1
 | neutre = 3
 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC)
}}</text>
      <sha1>0sdql92dzt9patywnafbokcbkzhfnq1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987323</id>
      <parentid>987322</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T23:12:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ambre Troizat</username>
        <id>8860</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Pour */ modification du commentaire ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|DP]])</comment>
      <origin>987323</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15630" sha1="6viwjeuid52spss3aaca0c4mi7fi24l" xml:space="preserve">{{Boîte colorée
|titre=
|titre-couleur-fond=#D33
|titre-couleur=#FFF
|contenu=
== Remettre au format initial les cours au format MOOC ==

Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. 

L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ».

Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]].

Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&amp;oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026.

}}

== Discussion ==

=== Changement d'avis ===
Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. 

Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) 

=== Première Discussion ===
Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique...
Par contre, il est évident que ce cours est &quot;super bien fait&quot; et qu'il mérite qu'on le corrige...
Tentative d'éclaircissement en live : 
# ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment...
:: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (&lt;small&gt;''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; &quot;@Éric38fr&quot;, qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''&lt;/small&gt;), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC).
# Ce que j'intuite comme pouvant être une cause !
## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. 
###L'auteur en a réalisé une version MOOC. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV.
## Ce qui aurait existé séquentiellement : 
###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. 
###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), 
###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé &quot;le truc en attente&quot;...
# Pour corriger il y a plusieurs solutions :
## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause...
## &quot;méthode bourrin&quot; : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction
## &quot;entre les deux premières&quot; : 
###on audite toutes les dysfonctions, 
###on établit une solution par type de PB, 
###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. 

En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification &quot;enchassée &quot; par les suivantes...

Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!)

Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer...
Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC)
:[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC)
::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ?  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 19 avril 2025 à 23:03 (UTC)
:::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question :
:::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois)
:::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres &quot;précédent&quot; et &quot;suivant&quot; de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.)
:::# alors il faut
:::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}}
:::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a)
:::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision.
:::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC)
::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC)
:::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;
:::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC)
:::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 18:02 (UTC)
::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 21:33 (UTC)
:::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 20 avril 2025 à 22:55 (UTC)
::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 21 avril 2025 à 10:29 (UTC)
:::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC)
::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]&lt;/sup&gt; 22 avril 2025 à 16:11 (UTC)
: Bonjour,
: J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire.
: En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la  Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC)
===Réparer avant d'enlever===
Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que &quot;Faire et défaire c'est toujours travailler&quot;... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère &quot;Comprendre et intervenir&quot;. Je suis donc contre le fait d'enlever &quot;la couche MOOC&quot; sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

:Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC)
::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC)
===trouver les ressources===
Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) 
:Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC)
::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 29 avril 2025 à 08:56 (UTC)

'''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]'''

== Avis ==

Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET).

Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ?

=== Pour ===

* {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC)
* {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC)
* {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC)
* {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 avril 2025 à 21:39 (UTC)
* {{pour}}. Je comprends mieux le problème aujourd'hui. De plus, il me semble qu'un gros effort est fait pour améliorer ces Moocs. J'ai donc changé d'avis de neutre à pour. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 12 octobre 2026 à 23:07 (UTC)

=== Contre ===
* {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC)

=== Neutre ===

* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC)
* {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC)

== Résultats ==

{{Résultat vote
 | pour = 4
 | contre = 1
 | neutre = 3
 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC)
}}</text>
      <sha1>6viwjeuid52spss3aaca0c4mi7fi24l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Inventaire du patrimoine agroécologique de la Basse Casamance</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86815</id>
    <revision>
      <id>987304</id>
      <parentid>984470</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:08:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Brunotur</username>
        <id>69926</id>
      </contributor>
      <origin>987304</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11832" sha1="8o2fe324dfqotnpd0p5vphz3rxi9q95" xml:space="preserve">&lt;gallery widths=&quot;200&quot; style=&quot;float: right;&quot; perrow=&quot;2&quot; mode=&quot;nolines&quot;&gt;
Fichier:Parc national Basse Casamance.jpg
Fichier:Le boeuf des rizières.jpg
Fichier:L’arbre de vie.jpg
Fichier:Basse Casamance.jpg
&lt;/gallery&gt;Cette page organise un travail de recherche collectif pour documenter le patrimoine agroécologique de la Basse Casamance au Sénégal. 

Elle se focalise spécifiquement sur les modalités de mise en base de données de ce patrimoine, centré sur des entités et leur relations.

Quelques ressources introductoires:

* [[google:&quot;patrimoine+agroécologique+de+la+Basse+Casamance&quot;|Rechercher le Web pour “patrimoine agroécologique de la Basse Casamance”]]
* [https://aps.sn/le-departement-doussouye-se-voit-en-modele-de-transition-ecologique/ Le département d’Oussouye se voit en modèle de transition écologique - APS]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Po9-21F-HK8 Vidéo de K7 TV montrant des activités à Oussouye]
* [https://www.cirad.fr/en/worldwide/our-regional-offices/west-africa-dry-zone/news/l-agroecologie-s-implante-dans-les-terroirs-du-senegal Cap sur 2050 : la commune d’Oussouye au Sénégal prépare son avenir agroécologique | Cirad]

== Contexte ==
''Décrire les processus dans lesquels s'insère l'inventaire.''

La dynamique de recherche-action PRATAM (Potentiels de Résilience et d’Autodétermination des Territoires Agroécologiques Menacés) rassemble des acteurs académiques et non-académiques dans une dynamique de recherche-action, dont la finalité serait d’accompagner les acteurs de la Basse-Casamance vers une transition agroécologique basée sur la conservation et la valorisation du patrimoine matériel (en particulier naturel) et immatériel. Le PRATAM a trois objectifs spécifiques :

(i) produire des connaissances activables sur le fonctionnement du territoire agroécologique de Basse-Casamance, ses dynamiques de changement et ses mécanismes de résilience ; 

(ii) contribuer à une reconnaissance de la valeur universelle exceptionnelle du territoire, et à une (ré)activation des formes de résistance coutumière ; 

(iii) lancer un débat académique et socio-politique sur les territoire agroécologiques, vus comme des espaces de résilience, d’autodétermination voire de dépassement face aux écueils de la Modernité Industrielle.

Dans le cadre du PRATAM, un ensemble d'activités concerne l'inventaire du Patrimoine Agroécologique (PAE) de Basse Casamance. Il s'agit de décrire, représenter et analyser des éléments représentatifs du patrimoine pour mieux les connaître, les qualifier, les défendre.

L'inventaire est à la fois:

* un exercice scientifique (description, analyse)
* un exercice participatif (descriptions collectives, validation dans les villages)
* une forme de restitution de résultats complexes
* une modalité de plaidoyer (pour soutenir la défense de ce patrimoine)

== Démarche ==
''Décrire les besoins et caractéristiques souhaités de l'inventaire.''

L'approche est centrée sur une compréhension du patrimoine comme écologie de relations, i.e. un assemblage d'entités hétérogènes inscrites dans une pluralités de relations dont est justement issue le patrimoine. L’enjeu n’est donc pas seulement de lister des objets patrimoniaux, mais de comprendre comment ils s’articulent dans un système relationnel.

Quelques niveaux de données interagissent:

# une liste des entités du PAE (évolutive et participative), ca 100-150 entités
# des entités du PAE, renseignées par une fiche descriptive (ca 6 pages)
# les relations entre les entités

L'approche repose sur quelques engagements fondamentaux: 

* les entités sont hétérogènes (ex: plantes, animaux, pratiques agricoles, outils, règles, coutumes, rites), et débordent souvent des catégories qu'on leur assigne.
* les relations sont plurielles et de différente nature. Nous avons déjà identifié les candidats suivants: 
** Relations de proximité spatiale
** Relations d’inclusion / appartenance
** Relations de dépendance socio-écologique
** Relations de filiation (entité → sous-produits)
** Relations d’assemblage (entités → assemblage) (ex.: plat cuisiné)
** Relations par pratiques partagées
** Relations par métiers / organisations collectives
** Relations rituelles / symboliques / cultuelles
** Relations fonctionnelles (systèmes techniques et productifs)
* Pour certaines de ces relations, on peut envisager d'identifier des intermédiaires (ex.: pratiques, métiers)
* La mise en base de données devrait permettre de projeter l'intégralité de ces relations, mais aussi pouvoir les explorer une à une.

== Approche feuille de papier (en cours) ==
''Décrire ce mode de fonctionnement, ses résultats et ses limites.''

Voici les rubriques renseignées par la fiche. Les premières sont descriptives, puis plutôt analytiques, avant de recenser les sources.
* Identité
** Nom 
** Noms locaux
** Nom scientifique (Si pertinent)
** Classe d'objet
** Mots clés 
** Description sommaire
* Implantation 
** Zones de présence dans la topo-séquence type (Ex : Rizières, mangrove, brousse, parcours, village, bois sacrés, forêt, forêt sacrée)
** Zones de présence à l’échelle du village (Ex : Concessions familiales, jardins de cases, zones boisées interstitielles, bois sacré, lieux de rassemblement, jardins collectifs féminins)
** Zones de présence à l’échelle régionale (Ex : Boulouf, Bandial, Kassa ; Fognuy, Bliss-Karonne, Kalounayes, Zone mixte (Niaguis, Adéane))
** Localités de présence à l’échelle régionale 
** Zones de présence hors Basse-Casamance 
** Commentaires. 
* Description des usages
** Description libre des usages 
** Parties utilisées et usages (numéroter les parties, et en décrire les usages)
* Pratiques humaines
** Description des pratiques productives : définir les pratiques de production, de gestion et d’entretien, et les mois associés 
** Description des pratiques d’usage : définir les pratiques de consommation, d’extraction, de prélèvement, et les mois associés 
** Description des pratiques de transformation et stockage : stockage et les mois associés
** Pratiques d'échange, de mise en marché ou de circulation : commercialisation des produits, don, troc 
** Métiers associés
** Groupes ethnico-linguistique (Diola, Manding, Balant…)
** Pratiques extractives / destructives
** Pratiques cultuelles &amp; spirituelle associées
* Représentations, signification, symbolique
** Description libre des représentations et symboles
* Protection / règlementation des usages
** Régime de propriété – villageois (commun, privé, club…)
** Droit d'accès - villageois
** Réglementation étatique
* Appréciation de la vivacité de l’entité
** Quel est le degré d’existence et d’activation de l’entité (Ex : Commune, rare, très rare, disparue, oubliée )
** Quelles sont les modalités de persistance ?   
** Quelles sont les modalités de d’adaptation ?   
** Quelles sont les modalités de transmission ?  
** Quelles sont les modalités de valorisation ? 
** Commentaires : 
* Documents et données
** Bibliographie scientifique
** Observations
** Photos
** Cartes
** Audio
** Films
** Couverture médiatique /presse

== Approche numérique (imaginée) ==
* Alternative entre une base de données relationnelle ou orientée graphe.
* Importance d'interfaces adaptées à différents contextes d'usage.

''A compléter avec une description des alternatives, leurs avantages et inconvénients.''

=== Choix du modèle de base de données ===
Des récits comparant les bases des données relationnelles et orientées graphe:

* [https://neo4j.com/blog/graph-database/graph-database-vs-relational-database/#h-data-models-understanding-the-fundamentals Graph Database vs. Relational Database: What’s The Difference?]
** L'un des textes plus complets, même si l'exemple de code donné est incomplet ; contient tableau comparatif.
* [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Quand utiliser : base de données orientée graphe vs base de données relationnelle]
** Le lien renvoie à une section qui va direct au point ; contient tableau comparatif.
* [https://learn.microsoft.com/en-us/fabric/graph/graph-relational-databases Graph and relational database comparison]
** Bon exemple de code.

Clés de décision spécifiques à notre cas d'usage:

* La volumétrie est tellement petite que les questions de performance et scalabilité ne sont pas importantes.
* La question de la flexibilité des schémas et le type et rôle des relations à analyser peuvent être importantes.

Pour nous aider, nous extrayons des références ci-haut le tableau comparatif :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Critère
!BD relationnelle
!BD orientée graphe
|-
|Schéma
|«Vous travaillez avec des données hautement structurées qui s'intègrent parfaitement au modèle de données tabulaire, comme dans le cas de la gestion des ressources d'entreprise»
|«Vous avez besoin d'un schéma évolutif, car vous pouvez modifier les périphéries, les nœuds et les propriétés sans perturber le reste de la structure de la base de données»
|-
|Rélations
|«Vos données ont des relations limitées»
|«Vous travaillez avec des données qui entretiennent des relations complexes, comme celles des réseaux sociaux, de la détection des fraudes, des graphiques de connaissances, des graphiques de sécurité ou des moteurs de recommandation personnalisés»
|-
|Opérations
|«Vous avez besoin de la conformité ACID et de niveaux élevés d'intégrité et de cohérence des données, comme dans le cas des transactions financières»
|«Vous travaillez avec des données interconnectées et devez effectuer plusieurs sauts, ou un nombre inconnu, de sauts entre les relations (requêtes de type ami d’ami)»
|-
| colspan=&quot;3&quot; |&lt;small&gt;Source: [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Base de données orientée graphe vs base de données relationnelle - différence entre les bases de données - AWS]&lt;/small&gt;
|}

=== Choix d'interface ===
Les choix sont deux:

* Formulaire et présentation dynamique, possible avec n'importe quel choix de base de données; plusieurs technologies possible telles que Django, Drupal, Wordpress, Grist.
* Wikibase — technologie wiki orientée base de données, — possible uniquement avec une base orientée graphe.

=== Disponibilité de ressources ===
* Hébergement et développement dans l'infra Cortext conditionné à un apport de ressources humaines.
* Base de données relationnelle avec formulaires et interfaces de publication, hébergés gratuitement par l'état français : [https://grist.numerique.gouv.fr Grist de La Suite].
* Base de données relationnelle avec un système de gestion et publication orienté aux usages dans la recherche : [https://heuristref.net/Heurist_Contacts/web/5417/10746 Heurist]
* Base de données orientée graphe avec Wikibase, hébergés gratuitement par une association sans but lucratif : [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud].

== Quelques références ==
* [https://www.bestiaryanthropocene.com/ A Bestiary of the Anthropocene]
* [https://feralatlas.org/ Feral Atlas]
* [[w:Europeana|Europeana]]
** [https://api.europeana.eu/console/sparql/ Europeana SPARQL Console]
** https://www.dataspace-culturalheritage.eu/en/about-the-data-space
* [https://www.wikidata.org/ Wikidata]
**[https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud]
*[[m:Wikimedians_of_Senegal_User_Group|Groupe d'utilisateurs Wikimédia du Sénégal]]
*Quid de ce livre [https://www.e-elgar.com/shop/gbp/how-to-use-wikibase-for-mixed-methods-research-9781035353743.html How to use Wikibase for Mixed-Methods Research] ?</text>
      <sha1>8o2fe324dfqotnpd0p5vphz3rxi9q95</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987305</id>
      <parentid>987304</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:28:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Brunotur</username>
        <id>69926</id>
      </contributor>
      <origin>987305</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12263" sha1="pkrhk0bkugjwdypmnev9hgdluj6mc3t" xml:space="preserve">&lt;gallery widths=&quot;200&quot; style=&quot;float: right;&quot; perrow=&quot;2&quot; mode=&quot;nolines&quot;&gt;
Fichier:Parc national Basse Casamance.jpg
Fichier:Le boeuf des rizières.jpg
Fichier:L’arbre de vie.jpg
Fichier:Basse Casamance.jpg
&lt;/gallery&gt;Cette page organise un travail pour documenter et reconnaître les entités et relations peuplant dimensions connues et à découvrir du patrimoine agroécologique de la Basse Casamance au Sénégal.

Quelques ressources introductoires:

* [[google:&quot;patrimoine+agroécologique+de+la+Basse+Casamance&quot;|Rechercher le Web pour “patrimoine agroécologique de la Basse Casamance”]]
* [https://aps.sn/le-departement-doussouye-se-voit-en-modele-de-transition-ecologique/ Le département d’Oussouye se voit en modèle de transition écologique - APS]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Po9-21F-HK8 Vidéo de K7 TV montrant des activités à Oussouye]
* [https://www.cirad.fr/en/worldwide/our-regional-offices/west-africa-dry-zone/news/l-agroecologie-s-implante-dans-les-terroirs-du-senegal Cap sur 2050 : la commune d’Oussouye au Sénégal prépare son avenir agroécologique | Cirad]

== Contexte ==
''Décrire les processus dans lesquels s'insère l'inventaire.''

La dynamique de recherche-action PRATAM (Potentiels de Résilience et d’Autodétermination des Territoires Agroécologiques Menacés) rassemble des acteurs académiques et non-académiques dans une dynamique de recherche-action, dont la finalité serait d’accompagner les acteurs de la Basse-Casamance vers une transition agroécologique basée sur la conservation et la valorisation du patrimoine matériel (en particulier naturel) et immatériel. Le PRATAM a trois objectifs spécifiques :

(i) produire des connaissances activables sur le fonctionnement du territoire agroécologique de Basse-Casamance, ses dynamiques de changement et ses mécanismes de résilience ; 

(ii) contribuer à une reconnaissance de la valeur universelle exceptionnelle du territoire, et à une (ré)activation des formes de résistance coutumière ; 

(iii) lancer un débat académique et socio-politique sur les territoire agroécologiques, vus comme des espaces de résilience, d’autodétermination voire de dépassement face aux écueils de la Modernité Industrielle.

Dans le cadre du PRATAM, un ensemble d'activités concerne l'inventaire du Patrimoine Agroécologique (PAE) de Basse Casamance. Il s'agit de décrire, représenter et analyser des éléments représentatifs du patrimoine pour mieux les connaître, les qualifier, les défendre.

L'inventaire est à la fois:

* un exercice scientifique (description, analyse)
* un exercice participatif (descriptions collectives, validation dans les villages)
* une forme de restitution de résultats complexes
* une modalité de plaidoyer (pour soutenir la défense de ce patrimoine)

== Démarche ==
''Décrire les besoins et caractéristiques souhaités de l'inventaire.''

L'approche est centrée sur une compréhension du patrimoine comme écologie de relations, i.e. un assemblage d'entités hétérogènes inscrites dans une pluralités de relations dont est justement issue le patrimoine. L’enjeu n’est donc pas seulement de lister des objets patrimoniaux, mais de comprendre comment ils s’articulent dans un système relationnel.

Quelques niveaux de données interagissent:

# une liste des entités du PAE (évolutive et participative), ca 100-150 entités
# des entités du PAE, renseignées par une fiche descriptive (ca 6 pages)
# des observations directs de spécimens

L'approche repose sur quelques engagements fondamentaux: 

* les entités sont hétérogènes (ex: plantes, animaux, pratiques agricoles, outils, règles, coutumes, rites), et débordent souvent des catégories qu'on leur assigne.
* les relations sont plurielles et de différente nature. Nous avons déjà identifié les candidats suivants: 
** Relations de proximité spatiale
** Relations d’inclusion / appartenance
** Relations de dépendance socio-écologique
** Relations de filiation (entité → sous-produits)
** Relations d’assemblage (entités → assemblage) (ex.: plat cuisiné)
** Relations par pratiques partagées
** Relations par métiers / organisations collectives
** Relations rituelles / symboliques / cultuelles
** Relations fonctionnelles (systèmes techniques et productifs)
* Pour certaines de ces relations, on peut envisager d'identifier des intermédiaires (ex.: pratiques, métiers)
* La mise en base de données devrait permettre de projeter l'intégralité de ces relations, mais aussi pouvoir les explorer une à une.

== Approche feuille de papier (en cours) ==
''Décrire ce mode de fonctionnement, ses résultats et ses limites.''

Voici les rubriques renseignées par la fiche. Les premières sont descriptives, puis plutôt analytiques, avant de recenser les sources.
* Identité
** Nom 
** Noms locaux
** Nom scientifique (Si pertinent)
** Classe d'objet
** Mots clés 
** Description sommaire
* Implantation 
** Zones de présence dans la topo-séquence type (Ex : Rizières, mangrove, brousse, parcours, village, bois sacrés, forêt, forêt sacrée)
** Zones de présence à l’échelle du village (Ex : Concessions familiales, jardins de cases, zones boisées interstitielles, bois sacré, lieux de rassemblement, jardins collectifs féminins)
** Zones de présence à l’échelle régionale (Ex : Boulouf, Bandial, Kassa ; Fognuy, Bliss-Karonne, Kalounayes, Zone mixte (Niaguis, Adéane))
** Localités de présence à l’échelle régionale 
** Zones de présence hors Basse-Casamance 
** Commentaires. 
* Description des usages
** Description libre des usages 
** Parties utilisées et usages (numéroter les parties, et en décrire les usages)
* Pratiques humaines
** Description des pratiques productives : définir les pratiques de production, de gestion et d’entretien, et les mois associés 
** Description des pratiques d’usage : définir les pratiques de consommation, d’extraction, de prélèvement, et les mois associés 
** Description des pratiques de transformation et stockage : stockage et les mois associés
** Pratiques d'échange, de mise en marché ou de circulation : commercialisation des produits, don, troc 
** Métiers associés
** Groupes ethnico-linguistique (Diola, Manding, Balant…)
** Pratiques extractives / destructives
** Pratiques cultuelles &amp; spirituelle associées
* Représentations, signification, symbolique
** Description libre des représentations et symboles
* Protection / règlementation des usages
** Régime de propriété – villageois (commun, privé, club…)
** Droit d'accès - villageois
** Réglementation étatique
* Appréciation de la vivacité de l’entité
** Quel est le degré d’existence et d’activation de l’entité (Ex : Commune, rare, très rare, disparue, oubliée )
** Quelles sont les modalités de persistance ?   
** Quelles sont les modalités de d’adaptation ?   
** Quelles sont les modalités de transmission ?  
** Quelles sont les modalités de valorisation ? 
** Commentaires : 
* Documents et données
** Bibliographie scientifique
** Observations
** Photos
** Cartes
** Audio
** Films
** Couverture médiatique /presse

== Approche numérique (imaginée) ==
* Alternative entre une base de données relationnelle ou orientée graphe.
* Importance d'interfaces adaptées à différents contextes d'usage.

''A compléter avec une description des alternatives, leurs avantages et inconvénients.''

=== Choix du modèle de base de données ===
Des récits comparant les bases des données relationnelles et orientées graphe:

* [https://neo4j.com/blog/graph-database/graph-database-vs-relational-database/#h-data-models-understanding-the-fundamentals Graph Database vs. Relational Database: What’s The Difference?]
** L'un des textes plus complets, même si l'exemple de code donné est incomplet ; contient tableau comparatif.
* [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Quand utiliser : base de données orientée graphe vs base de données relationnelle]
** Le lien renvoie à une section qui va direct au point ; contient tableau comparatif.
* [https://learn.microsoft.com/en-us/fabric/graph/graph-relational-databases Graph and relational database comparison]
** Bon exemple de code.

Clés de décision spécifiques à notre cas d'usage:

* La volumétrie est tellement petite que les questions de performance et scalabilité ne sont pas importantes.
* La question de la flexibilité des schémas et le type et rôle des relations à analyser peuvent être importantes.

Pour nous aider, nous extrayons des références ci-haut le tableau comparatif :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Critère
!BD relationnelle
!BD orientée graphe
|-
|Schéma
|«Vous travaillez avec des données hautement structurées qui s'intègrent parfaitement au modèle de données tabulaire, comme dans le cas de la gestion des ressources d'entreprise»
|«Vous avez besoin d'un schéma évolutif, car vous pouvez modifier les périphéries, les nœuds et les propriétés sans perturber le reste de la structure de la base de données»
|-
|Rélations
|«Vos données ont des relations limitées»
|«Vous travaillez avec des données qui entretiennent des relations complexes, comme celles des réseaux sociaux, de la détection des fraudes, des graphiques de connaissances, des graphiques de sécurité ou des moteurs de recommandation personnalisés»
|-
|Opérations
|«Vous avez besoin de la conformité ACID et de niveaux élevés d'intégrité et de cohérence des données, comme dans le cas des transactions financières»
|«Vous travaillez avec des données interconnectées et devez effectuer plusieurs sauts, ou un nombre inconnu, de sauts entre les relations (requêtes de type ami d’ami)»
|-
| colspan=&quot;3&quot; |&lt;small&gt;Source: [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Base de données orientée graphe vs base de données relationnelle - différence entre les bases de données - AWS]&lt;/small&gt;
|}

=== Choix d'interface ===
&gt;&gt; Peut-on renseigner ici avec un peu plus de précision?:

- les différentes options (Cf. présentaioin de la Dipso), notamment avec les contraintes

- pour chacune, des cas d'usages qui peuvent s'apparenter à ce qui nous intéresse


Les choix sont deux:

* Formulaire et présentation dynamique, possible avec n'importe quel choix de base de données; plusieurs technologies possible telles que Django, Drupal, Wordpress, Grist.
* Wikibase — technologie wiki orientée base de données, — possible uniquement avec une base orientée graphe.

=== Disponibilité de ressources ===
* Hébergement et développement dans l'infra Cortext conditionné à un apport de ressources humaines.
* Base de données relationnelle avec formulaires et interfaces de publication, hébergés gratuitement par l'état français : [https://grist.numerique.gouv.fr Grist de La Suite].
* Base de données relationnelle avec un système de gestion et publication orienté aux usages dans la recherche : [https://heuristref.net/Heurist_Contacts/web/5417/10746 Heurist]
* Base de données orientée graphe avec Wikibase, hébergés gratuitement par une association sans but lucratif : [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud].

== Quelques références ==
&gt;&gt; Pour chacune des références ci-dessous, peut-on les présenter comme des cas d'usage et 1) préciser la pertinence, 2) pointer les choix techniques sous-jacent 3) éventuellement des contraintes ???
* Archesproject: https://www.archesproject.org/what-is-arches/
* [https://www.bestiaryanthropocene.com/ A Bestiary of the Anthropocene]
* [https://feralatlas.org/ Feral Atlas]
* [[w:Europeana|Europeana]]
** [https://api.europeana.eu/console/sparql/ Europeana SPARQL Console]
** https://www.dataspace-culturalheritage.eu/en/about-the-data-space
* [https://www.wikidata.org/ Wikidata]
**[https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud]
*[[m:Wikimedians_of_Senegal_User_Group|Groupe d'utilisateurs Wikimédia du Sénégal]]
*Quid de ce livre [https://www.e-elgar.com/shop/gbp/how-to-use-wikibase-for-mixed-methods-research-9781035353743.html How to use Wikibase for Mixed-Methods Research] ?</text>
      <sha1>pkrhk0bkugjwdypmnev9hgdluj6mc3t</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987306</id>
      <parentid>987305</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:33:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Brunotur</username>
        <id>69926</id>
      </contributor>
      <origin>987306</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13081" sha1="jmmy1lws6wtysbomr7lm15sykyniz3t" xml:space="preserve">&lt;gallery widths=&quot;200&quot; style=&quot;float: right;&quot; perrow=&quot;2&quot; mode=&quot;nolines&quot;&gt;
Fichier:Parc national Basse Casamance.jpg
Fichier:Le boeuf des rizières.jpg
Fichier:L’arbre de vie.jpg
Fichier:Basse Casamance.jpg
&lt;/gallery&gt;Cette page organise un travail pour documenter et reconnaître les entités et relations peuplant dimensions connues et à découvrir du patrimoine agroécologique de la Basse Casamance au Sénégal.

Quelques ressources introductoires:

* [[google:&quot;patrimoine+agroécologique+de+la+Basse+Casamance&quot;|Rechercher le Web pour “patrimoine agroécologique de la Basse Casamance”]]
* [https://aps.sn/le-departement-doussouye-se-voit-en-modele-de-transition-ecologique/ Le département d’Oussouye se voit en modèle de transition écologique - APS]
* [https://www.youtube.com/watch?v=Po9-21F-HK8 Vidéo de K7 TV montrant des activités à Oussouye]
* [https://www.cirad.fr/en/worldwide/our-regional-offices/west-africa-dry-zone/news/l-agroecologie-s-implante-dans-les-terroirs-du-senegal Cap sur 2050 : la commune d’Oussouye au Sénégal prépare son avenir agroécologique | Cirad]

== Contexte ==
''Décrire les processus dans lesquels s'insère l'inventaire.''

La dynamique de recherche-action PRATAM (Potentiels de Résilience et d’Autodétermination des Territoires Agroécologiques Menacés) rassemble des acteurs académiques et non-académiques dans une dynamique de recherche-action, dont la finalité serait d’accompagner les acteurs de la Basse-Casamance vers une transition agroécologique basée sur la conservation et la valorisation du patrimoine matériel (en particulier naturel) et immatériel. Le PRATAM a trois objectifs spécifiques :

(i) produire des connaissances activables sur le fonctionnement du territoire agroécologique de Basse-Casamance, ses dynamiques de changement et ses mécanismes de résilience ; 

(ii) contribuer à une reconnaissance de la valeur universelle exceptionnelle du territoire, et à une (ré)activation des formes de résistance coutumière ; 

(iii) lancer un débat académique et socio-politique sur les territoire agroécologiques, vus comme des espaces de résilience, d’autodétermination voire de dépassement face aux écueils de la Modernité Industrielle.

Dans le cadre du PRATAM, un ensemble d'activités concerne l'inventaire du Patrimoine Agroécologique (PAE) de Basse Casamance. Il s'agit de décrire, représenter et analyser des éléments représentatifs du patrimoine pour mieux les connaître, les qualifier, les défendre.

L'inventaire est à la fois:

* un exercice scientifique (description, analyse)
* un exercice participatif (descriptions collectives, validation dans les villages)
* une forme de restitution de résultats complexes
* une modalité de plaidoyer (pour soutenir la défense de ce patrimoine)

== Démarche ==
''Décrire les besoins et caractéristiques souhaités de l'inventaire.''

L'approche est centrée sur une compréhension du patrimoine comme écologie de relations, i.e. un assemblage d'entités hétérogènes inscrites dans une pluralités de relations dont est justement issue le patrimoine. L’enjeu n’est donc pas seulement de lister des objets patrimoniaux, mais de comprendre comment ils s’articulent dans un système relationnel.

Quelques niveaux de données interagissent:

# une liste des entités du PAE (évolutive et participative), ca 100-150 entités
# des entités du PAE, renseignées par une fiche descriptive (ca 6 pages)
# des observations directs de spécimens

L'approche repose sur quelques engagements fondamentaux: 

* les entités sont hétérogènes (ex: plantes, animaux, pratiques agricoles, outils, règles, coutumes, rites), et débordent souvent des catégories qu'on leur assigne.
* les relations sont plurielles et de différente nature. Nous avons déjà identifié les candidats suivants: 
** Relations de proximité spatiale
** Relations d’inclusion / appartenance
** Relations de dépendance socio-écologique
** Relations de filiation (entité → sous-produits)
** Relations d’assemblage (entités → assemblage) (ex.: plat cuisiné)
** Relations par pratiques partagées
** Relations par métiers / organisations collectives
** Relations rituelles / symboliques / cultuelles
** Relations fonctionnelles (systèmes techniques et productifs)
* Pour certaines de ces relations, on peut envisager d'identifier des intermédiaires (ex.: pratiques, métiers)
* La mise en base de données devrait permettre de projeter l'intégralité de ces relations, mais aussi pouvoir les explorer une à une.

== Approche feuille de papier (en cours) ==
''Décrire ce mode de fonctionnement, ses résultats et ses limites.''

Voici les rubriques renseignées par la fiche. Les premières sont descriptives, puis plutôt analytiques, avant de recenser les sources.
* Identité
** Nom 
** Noms locaux
** Nom scientifique (Si pertinent)
** Classe d'objet
** Mots clés 
** Description sommaire
* Implantation 
** Zones de présence dans la topo-séquence type (Ex : Rizières, mangrove, brousse, parcours, village, bois sacrés, forêt, forêt sacrée)
** Zones de présence à l’échelle du village (Ex : Concessions familiales, jardins de cases, zones boisées interstitielles, bois sacré, lieux de rassemblement, jardins collectifs féminins)
** Zones de présence à l’échelle régionale (Ex : Boulouf, Bandial, Kassa ; Fognuy, Bliss-Karonne, Kalounayes, Zone mixte (Niaguis, Adéane))
** Localités de présence à l’échelle régionale 
** Zones de présence hors Basse-Casamance 
** Commentaires. 
* Description des usages
** Description libre des usages 
** Parties utilisées et usages (numéroter les parties, et en décrire les usages)
* Pratiques humaines
** Description des pratiques productives : définir les pratiques de production, de gestion et d’entretien, et les mois associés 
** Description des pratiques d’usage : définir les pratiques de consommation, d’extraction, de prélèvement, et les mois associés 
** Description des pratiques de transformation et stockage : stockage et les mois associés
** Pratiques d'échange, de mise en marché ou de circulation : commercialisation des produits, don, troc 
** Métiers associés
** Groupes ethnico-linguistique (Diola, Manding, Balant…)
** Pratiques extractives / destructives
** Pratiques cultuelles &amp; spirituelle associées
* Représentations, signification, symbolique
** Description libre des représentations et symboles
* Protection / règlementation des usages
** Régime de propriété – villageois (commun, privé, club…)
** Droit d'accès - villageois
** Réglementation étatique
* Appréciation de la vivacité de l’entité
** Quel est le degré d’existence et d’activation de l’entité (Ex : Commune, rare, très rare, disparue, oubliée )
** Quelles sont les modalités de persistance ?   
** Quelles sont les modalités de d’adaptation ?   
** Quelles sont les modalités de transmission ?  
** Quelles sont les modalités de valorisation ? 
** Commentaires : 
* Documents et données
** Bibliographie scientifique
** Observations
** Photos
** Cartes
** Audio
** Films
** Couverture médiatique /presse

== Approche numérique (imaginée) ==
* Alternative entre une base de données relationnelle ou orientée graphe.
* Importance d'interfaces adaptées à différents contextes d'usage.

''A compléter avec une description des alternatives, leurs avantages et inconvénients.''

=== Choix du modèle de base de données ===
Des récits comparant les bases des données relationnelles et orientées graphe:

* [https://neo4j.com/blog/graph-database/graph-database-vs-relational-database/#h-data-models-understanding-the-fundamentals Graph Database vs. Relational Database: What’s The Difference?]
** L'un des textes plus complets, même si l'exemple de code donné est incomplet ; contient tableau comparatif.
* [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Quand utiliser : base de données orientée graphe vs base de données relationnelle]
** Le lien renvoie à une section qui va direct au point ; contient tableau comparatif.
* [https://learn.microsoft.com/en-us/fabric/graph/graph-relational-databases Graph and relational database comparison]
** Bon exemple de code.

Clés de décision spécifiques à notre cas d'usage:

* La volumétrie est tellement petite que les questions de performance et scalabilité ne sont pas importantes.
* La question de la flexibilité des schémas et le type et rôle des relations à analyser peuvent être importantes.

Pour nous aider, nous extrayons des références ci-haut le tableau comparatif :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Critère
!BD relationnelle
!BD orientée graphe
|-
|Schéma
|«Vous travaillez avec des données hautement structurées qui s'intègrent parfaitement au modèle de données tabulaire, comme dans le cas de la gestion des ressources d'entreprise»
|«Vous avez besoin d'un schéma évolutif, car vous pouvez modifier les périphéries, les nœuds et les propriétés sans perturber le reste de la structure de la base de données»
|-
|Rélations
|«Vos données ont des relations limitées»
|«Vous travaillez avec des données qui entretiennent des relations complexes, comme celles des réseaux sociaux, de la détection des fraudes, des graphiques de connaissances, des graphiques de sécurité ou des moteurs de recommandation personnalisés»
|-
|Opérations
|«Vous avez besoin de la conformité ACID et de niveaux élevés d'intégrité et de cohérence des données, comme dans le cas des transactions financières»
|«Vous travaillez avec des données interconnectées et devez effectuer plusieurs sauts, ou un nombre inconnu, de sauts entre les relations (requêtes de type ami d’ami)»
|-
| colspan=&quot;3&quot; |&lt;small&gt;Source: [https://aws.amazon.com/fr/compare/the-difference-between-graph-and-relational-database/#ams#what-isc4#pattern-data Base de données orientée graphe vs base de données relationnelle - différence entre les bases de données - AWS]&lt;/small&gt;
|}

=== Choix d'interface ===
&gt;&gt; Peut-on renseigner ici avec un peu plus de précision?:

- les différentes options (Cf. présentaioin de la Dipso), notamment avec les contraintes

- pour chacune, des cas d'usages qui peuvent s'apparenter à ce qui nous intéresse


Les choix sont deux:

* Formulaire et présentation dynamique, possible avec n'importe quel choix de base de données; plusieurs technologies possible telles que Django, Drupal, Wordpress, Grist.
* Wikibase — technologie wiki orientée base de données, — possible uniquement avec une base orientée graphe.

=== Disponibilité de ressources ===
* Hébergement et développement dans l'infra Cortext conditionné à un apport de ressources humaines.
* Base de données relationnelle avec formulaires et interfaces de publication, hébergés gratuitement par l'état français : [https://grist.numerique.gouv.fr Grist de La Suite].
* Base de données relationnelle avec un système de gestion et publication orienté aux usages dans la recherche : [https://heuristref.net/Heurist_Contacts/web/5417/10746 Heurist]
* Base de données orientée graphe avec Wikibase, hébergés gratuitement par une association sans but lucratif : [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud].

=== Considérations importances dans le choix d'interface ===

* Modèle de propriété intellectuelle: à qui appartiennent les données?
* Restriction d'usage et de modification:  qui peut modifier et participer? y a-t-il différents niveaux de modération?
* Restriction de lecture: qui peut lire?

&gt;&gt; Nous avons décider d'avancer pour l'instant avec un modèle qui nous permettent la maîtrise de ces considérations, avant de se déplacer vers un modèle totalement ouvert et participatif

* Modalités de déploiement à long-terme

&gt;&gt; Envisager dès à présent les modalités de déploiement futures (ex.: infrastructure type digital archive) pour pouvoir anticiper les besoins techniques et règlementaires (ex.: convention définissant le régime de propriété intellectuelle, les usages et accès, etc.)

== Quelques références ==
&gt;&gt; Pour chacune des références ci-dessous, peut-on les présenter comme des cas d'usage et 1) préciser la pertinence, 2) pointer les choix techniques sous-jacent 3) éventuellement des contraintes ???
* Archesproject: https://www.archesproject.org/what-is-arches/
* [https://www.bestiaryanthropocene.com/ A Bestiary of the Anthropocene]
* [https://feralatlas.org/ Feral Atlas]
* [[w:Europeana|Europeana]]
** [https://api.europeana.eu/console/sparql/ Europeana SPARQL Console]
** https://www.dataspace-culturalheritage.eu/en/about-the-data-space
* [https://www.wikidata.org/ Wikidata]
**[https://www.wikibase.cloud/ Wikibase Cloud]
*[[m:Wikimedians_of_Senegal_User_Group|Groupe d'utilisateurs Wikimédia du Sénégal]]
*Quid de ce livre [https://www.e-elgar.com/shop/gbp/how-to-use-wikibase-for-mixed-methods-research-9781035353743.html How to use Wikibase for Mixed-Methods Research] ?</text>
      <sha1>jmmy1lws6wtysbomr7lm15sykyniz3t</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:20 ans</title>
    <ns>4</ns>
    <id>87330</id>
    <revision>
      <id>987300</id>
      <parentid>987288</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:11:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>/* Suppression abandons */ Réponse</comment>
      <origin>987300</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11102" sha1="33p29o6b7b1bkwcinn0div8wya95ajq" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)

== Portail de scolarités ==

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>33p29o6b7b1bkwcinn0div8wya95ajq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987301</id>
      <parentid>987300</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:12:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Suppression abandons */ oups correction signature</comment>
      <origin>987301</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11105" sha1="ep2ga1wjfqfz5fallplbu3n3gs553im" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)

== Portail de scolarités ==

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>ep2ga1wjfqfz5fallplbu3n3gs553im</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987302</id>
      <parentid>987301</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:57:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */</comment>
      <origin>987302</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12600" sha1="ftp0o6w6a6dro48u1mjaw4ls2df8v6f" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>ftp0o6w6a6dro48u1mjaw4ls2df8v6f</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987309</id>
      <parentid>987302</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:41:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Discussions */ Réponse</comment>
      <origin>987309</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13536" sha1="dlcp4swnbsn88qthygxvmlqihdq6xbe" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>dlcp4swnbsn88qthygxvmlqihdq6xbe</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987311</id>
      <parentid>987309</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:52:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Suppression abandons */ Réponse</comment>
      <origin>987311</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13884" sha1="58nlwu688n3ip36pxugrhkvdjpa4c9y" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>58nlwu688n3ip36pxugrhkvdjpa4c9y</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987312</id>
      <parentid>987311</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:52:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Suppression abandons */ Réponse</comment>
      <origin>987312</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14113" sha1="cdrtd5lazqkd0k23qr00ovkxiavnjt3" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>cdrtd5lazqkd0k23qr00ovkxiavnjt3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987313</id>
      <parentid>987312</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:57:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */ Réponse</comment>
      <origin>987313</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14684" sha1="hrdngv4j8qovtaa8dy8rfzz747oxv4v" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>hrdngv4j8qovtaa8dy8rfzz747oxv4v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987314</id>
      <parentid>987313</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:01:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Suppression abandons */</comment>
      <origin>987314</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14767" sha1="a2tcj0ug0lvuruvx07ylejmrgen1u19" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>a2tcj0ug0lvuruvx07ylejmrgen1u19</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987335</id>
      <parentid>987314</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:38:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>/* Suppression abandons */ Réponse</comment>
      <origin>987335</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14927" sha1="147y2kxagpujntdsdrd2t7fj6qxss41" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>147y2kxagpujntdsdrd2t7fj6qxss41</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987336</id>
      <parentid>987335</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:48:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Eric.LEWIN</username>
        <id>12972</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */ Réponse</comment>
      <origin>987336</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15198" sha1="28cbcvmka6x7mo4rql6klfesme3r8nh" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>28cbcvmka6x7mo4rql6klfesme3r8nh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987351</id>
      <parentid>987336</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:30:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Portail de scolarités */ Réponse</comment>
      <origin>987351</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15381" sha1="tpahoj8365zn77tckhfwmyotyh5v6vs" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans.

Le consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

:Bonjour, je ne suis pas sûr de ce que vous appelez &quot;MOOC&quot; par rapport à la pratique telle que, par exemple, développée par &quot;France Université numérique&quot;, TéléBotanica, ou même encore le WikiMooc de fr.Wikipédia. L'un des points importants dans les MOOCs est le fonctionnement en session, qui permet aux apprenant·e·s d'échanger via des forums, voire d'interagir avec des tuteurices. Bien sûr, il est toujours possible de suivre ces MOOCs en solitaire, tout seul dans son coin ; mais, de ma propre pratique(°), on perd beaucoup de l'intérêt qui a tant agité à ses débuts les sphères des pratiquant·e·s. De fait, même les variantes SOOC, SPOC, etc., insistent que les interactions sociales au sein des (petits) groupes d'apprenant·e·s. Passer à un apprentissage strictement solitaire est possible, certes, mais la conception en devient plus délicate. Le principe des &quot;référent·e&quot;s, et les pages de discussions permettent peut-être de pallier à cet aspect, mais l'idée de créer des périodes temporelles plus actives me semble un plus, et la gestion d'un agenda de disponibilité (sur une base de semaines ou mois) permettrait sûrement de retrouver plus de dynamique. Y a-t-il une page qui décrit les sous-entendus pédagogiques de cette pratique MOOC ?
:&lt;small&gt;&lt;small&gt;(°) histoire de vous décrire d'où je cause : enseignant universitaire au long cours, membre de l'AIPU, etc., participant à de nombreux projets aux niveaux secondaires et primaires (dont la Main à la Pâte, l'épisode des ex-EIST, diverses formations rectorales d'enseignant·e·s), j'ai été au contacts de MOOCs à la fois en tant qu'apprenant, mais en ayant aussi participé à la création de deux d'entre eux (&quot;Exoplanètes&quot; et &quot;Des rivières et des Hommes&quot; sur FUN), et à l'animation et au tutorat de plusieurs autres. Récemment, à la Wikimania 2026, j'ai présenté un enseignement collaboratif, &quot;WikiMars&quot;, intermédiaire entre auto-formation et approche tutorée, réalisé pendant une 10aine d'année, dans le cardre d'un enseignement &quot;toutes licences ensemble&quot; à l'UGA. Mais évidemment, cela n'épuise pas le sujet, loin de là ! :-)&lt;/small&gt;&lt;/small&gt; [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 14 septembre 2026 à 13:27 (UTC)
::Un enseignant à la retraite ! Que rêver de mieux pour Wikiversité =). Effectivement @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], les MOOC sont plus agréables à suivre durant une session avec d'autres participants. Cependant, cela me semble difficile à faire sur Wikiversité, mais pas impossible. La difficulté serait de rassembler suffisamment d'apprenants pour organiser des sessions. Or, ce qui attire les étudiants, c'est bien souvent le fait de pouvoir bénéficier d'une attestation. Malheureusement, cette pratique n'est pas autorisée dans Wikiversité.
::Il reste que le problème actuel à résoudre est d'ordre technique. Certains MOOCs de Wikiversité ont été réalisés par des professionnels qui ont mis au point un environnement plus esthétique et plus convivial. Cependant, ces éditeurs ne sont plus actifs et le code informatique qu'ils ont produit pour leur MOOC est simultanément compliqué et non documenté. Résultat, un bug est apparu et personne dans Wikiversité n'est capable de le résoudre. L'idée est donc de revenir à une présentation plus simple de ces MOOCs en panne, pour qu'ils puissent être maintenus par la communauté. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 00:39 (UTC)
:::Okay, je prends donc le sigle &quot;MOOC&quot; dans un sens minimal, &quot;cours en ligne&quot; (et, bien sûr, ouvert), &quot;OOC&quot; (°). Merci pour l'info sur l'histoire de ce code ; effectivement, il semble qie je l'avais rencontré, je ne sais plus sur quel cours, et avais en tout cas bien vu que ça ne marchait plus. Mais comme le cours ne m'importait pas au-dela de la curiosité de feuilleter des pages d'un domaine qui m'était étranger d'intérêt, j'ai fini par l'oublier.
:::&amp;nbsp;&lt;small&gt;(°) à ne pas confondre avec l'intégralité du savoir libre que d'aucuns ont appelé &quot;ook&quot; (&quot;online open knedledge&quot;…), néanmoins un hommage à un bibliothéquaire et personnage du disque-monde de T.Pratchett :-).&lt;/small&gt;&lt;br/&gt;
:::-- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 15 septembre 2026 à 07:55 (UTC).
::::C'est vrai que l'acronyme OOC conviendrait mieux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 septembre 2026 à 09:21 (UTC)
: Bonsoir à tous,&lt;br&gt; Je peux agalement modifier mon vote ?&lt;br&gt; J'étais neutre. Dans cette nouvelle configuration, je serais pour.&lt;br&gt; BelBonjour. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 11 octobre 2026 à 22:43 (UTC)
::Oui @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. La page n'est plus protégée depuis mon changement de vote. Tu peux donc le faire à ton tour. Prend juste le soin d'indiquer ton changement d'avis d'une manière ou d'une autre et peut-être la raison de ce changement mettant ta signature pour qu'une date s'affiche.
::C'est quand même plus simple de faire comme ça que de relancer une nouvelle procédure de prise de décision.
::Avec la page d'accueil qui n'est plus du tout à jour au niveau du code, la réparation des MOOCs est une autre priorité, selon moi. Comme en témoigne encore [[Wikiversité:La salle café#problème liens mallette &quot;troubles du comportement&quot;|ce message laissé]] dans la salle café, certaines personnes ont besoin des cours et malettes produits par CNED.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:41 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Votes éventuels pour la mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===
* Je suis d'accord qu'il est sûrement nécessaire de faire un peu de nettoyage. Néanmoins, je suis contre l'idée d'effacer quelque résultat d'un travail ; respect de l'effort, si petit soit-il. Il y a des cours qui sont juste des plans : autant les indiquer comme &quot;à l'ébauche de plan&quot; ; cela peut donner des idées. Il y a des cours qui ne présentent qu'une ou deux leçons, c'est déjà ça, même si lea contributeurice ne répond pas. Si la leçon en est une réellement (vu plusieurs fois), cette leçon peut être entrée dans le corpus des leçons isolées d'un cours, soit au sein d'un département, sinon d'une faculté… -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:46 (UTC).
*:Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Je ne suis pas non plus un adepte de la suppression. Au fur et à mesure où j'avance sur la question, je me dis que l'on devrais rentabiliser un peu plus le système de catégorisation natif dans media wiki en le combinant avec des messages d'introduction que l'on pourrait collé en début des pages pédagogique dans le but d'une part d'informer le visiteur de leur situation et droits (ex. ébauche dernièrement modifiée le x du x pas tel ou telle utilisateurise) et d'autre part pour créer des pages de catégories mises à jour que l'on pourrait alors transclure dans d'autres pages qui aideront les visiteurs à parcourrir le contenu pédagogique du projet sur base de liste de pages reprises dans des arbres de catégories. Ce qui peut se faire avec le wikicode { { #categorytree:Livres terminés|mode=pages} } [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:53 (UTC)
*::Voici un exemple d'arbre à catégorie avec boite déroulante. Le code suivit du rendu.
*::&lt;nowiki&gt;{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt;
*::{{ #categorytree:Cours|mode=pages}}
*::En se lancant dans un campagne de catégorisation et en utilisant cet outils d'incorporation du contenu des catégories, je pense qu'il serait possible de rendre la présentation du contenu de Wikiversité à la fois plus intuitive et efficace tout en offrant une vue synthétique et complète. Un façon de permettre aux visiteurs en visionner peux de temps ce qui est terminé et prêt à l'usage de ce qui est en construction ou au stade d'ébauche à poursuivre ou à refondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 15:23 (UTC)
*:::Tout à fait d'accord pour mieux catégoriser. Néanmoins, et c'est selon moi un &quot;souci&quot; bien français, cet arbre-ci commence par le niveau le plus général : avant d'en arriver à du concret, on cherche beaucoup : je doute que l'usager usuel ira au-dela de quelques clics... J'imagine qu'il est possible de ne le faire démarrer qu'à partir du niveau de la page dans lequel ce modèle est inséré, non ? Hélas, je viens de faire un essai dans la zone de présentation de la page du dépt. &quot;planétologie et exogéologie&quot; (après mes essais, j'ai masqué le wikicode en commentaire), et je n'ai eu que la même chose que ci-dessus ; pas trouvé de doc ici sur le modèle &quot;categorytree&quot;... -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:11 (UTC)
*::::Salut @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]]. Il me semble qu'en changeant simplement le nom de la catégorie on se place dans un autre endroi au niveau de l'arbre. Plus haut ou plus bas selon le cas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*:::::Exemple, &lt;nowiki&gt;{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}&lt;/nowiki&gt; donne :
*:::::{{#categorytree:Planétologie et Exogéologie|mode=pages}}
*:::::[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:52 (UTC)
*::::::Grandiose, merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:38 (UTC)

== Portail de scolarités ==

Je viens de remarquer qu'une scolarité &quot;française&quot; a /commencé à être/été/ mise en place, sans relation avec les niveaux définis au niveau international, et bien trop souvent sans s'y référer, ou très discrètement. Je veux bien qu'on ne soit pas familier d'un système plus &quot;universel&quot;, qu'on soit attaché à sa singularité, mais ne pourrions-nous pas faire un effort pour rejoindre les deux déclinaisons, puisqu'elles sont synonymes ?. Exemples :
* [[Quatrième (France)]] : j'adore le «&amp;nbsp;La quatrième (niveau 9) est la troisième classe du collège en France.&amp;nbsp;» sans aute forme d'explication !
* [[Physique-chimie en seconde générale et technologique]], qui renvoie à la scolarité [[Seconde]], qui en cherchant beaucoup, cite le niveau 11 en le liant à l'[[Aide:Niveau/Niveau_11|aide sur ce niveau]] !
* il y a même une catégorie &quot;[[:Catégorie:Structure_française|structure française]]&quot;, très incomplète si on va par là (par ex. le MESR de France a une liste exhaustive des intitulés de parcours et mentions pour les licences de nos universités…), mais on n'y voit aucun lien avec le système international, pourtant adopté, me semble-t-il (du moins au niveau universitaire/post-bac/niveau &gt;= 14), par de nombreux systèmes nationaux y compris francophones !
Voilà qui n'aide pas à l'utilisation de ces cours. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 12 octobre 2026 à 12:57 (UTC).

:C'est vrai @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]] que c'est actuellement très franco centré et si un système internationnal existe, autant l'utiliser plutôt que de chercher à mettre en parralèle tous les différents système des pays francophones. Par la suite on peut aussi renvoyer le lecteur vers un tableau d'équivalence qui permettra de traduire les niveaux internationnaux vers les différents niveaux nationnaux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:57 (UTC)
::Ce tableau existe : &quot;[[Wikiversité:Niveaux]]&quot; !!! Et il n'est même pas dans l'ordre alphabétique des pays :-/, :-|. Encore merci ! -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 13 octobre 2026 à 08:48 (UTC).
:::Faudrait donc rationnaliser tout ça. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 octobre 2026 à 10:30 (UTC)

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==
* Bof ! ça me semble plus ressembler à du ravalement de façade, qu'à une action invitant des contributeurices de donner du temps pour construire des cours. Je pense que là est le vrai chalenge. Bref, je n'irai pas plus loin, ni pour, ni contre, juste soucieux qu'on ne perde pas, ne serait-ce que de miettes, des réels efforts à mettre des leçons en ligne. Elles pourraient être, je pense, un appel à apports de la part d'autres contributeurices. Mon quart de demi-centime. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 18 septembre 2026 à 10:54 (UTC).
*:Oui @[[Utilisateur:Eric.LEWIN|Eric.LEWIN]], je trouve aussi que ce n'est pas quelque chose de prioritaire ni d'important. Je ne m'impliquerai donc pas ce changement. Je laisse ça au initiateur et autres personnes intéressées. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 9 octobre 2026 à 14:56 (UTC)

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
      <sha1>tpahoj8365zn77tckhfwmyotyh5v6vs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/octobre 2026</title>
    <ns>4</ns>
    <id>87372</id>
    <revision>
      <id>987308</id>
      <parentid>987142</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:31:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Harcèlement par hCaptcha */ Réponse</comment>
      <origin>987308</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14274" sha1="59z7725544reikw8ehp1thmu7bqwryu" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|10}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;
== Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist ==
''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)''

Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].&lt;br/&gt;Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]])  sent via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 octobre 2026 à 12:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&amp;oldid=31106967 --&gt;

== Harcèlement par hCaptcha ==
J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message &quot;Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer&quot; (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC)

:Bonsoir Marvoir via @[[Utilisateur:~2026-52884-74|~2026-52884-74]]
:Ce comportement du site n'est effectivement pas normal. Je n'ai jamais rien eu de la sorte en plus de 15 ans de connexion. Mais je vois que tu as contribué depuis avec ton compte. J'imagine que le problème fut passagé. Reviens vers moi en me notifiant si ça revient et se prolonge, je peux alors laisser un message dans Fabricator pour signaler le bug.
:En visitant ton profil utilisateur, j'ai remarqué que tu échanges des messages concernant Wikipédia avec divers contributeurs. C'est inabituel, mais j'imagine que c'est sans doute parce que tu as été bloqué là-bas. J'ai vu juste ?
:Bien à toi,  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:31 (UTC)

== Des RAW tout frais, à lire sans délai ! ==
&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

'''Contribuer, chacun à sa manière'''

Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW !

Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88.

Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]].

Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions !

----

Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;L'Interview&lt;/span&gt;''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

[[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] !

[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-41 ==
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W41&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Le processus relatif à la liste de souhaits communautaires de cette année [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027#Updated Community Wishlist Process 2027/2028|a été publié]], en tenant compte des commentaires de la communauté. La période de soumission des souhaits [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is the deadline for submitting wishes?|prendra fin le 8 novembre]]. Cette année, [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027/Working group|un groupe de travail (appel à volontariat ouvert)]] composé de membres de la communauté connaissant bien les aspects techniques de nos wikis et de membres du personnel de la Fondation Wikimedia se chargera du [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is triage?|processus de triage]]. Le triage devrait être terminé d'ici la fin novembre. Le vote sur les souhaits débutera en janvier.

'''Actualités pour la contribution'''
* Les utilisateurs adeptes de l'[[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|éditeur visuel]] verront maintenant un avertissement lorsqu'ils collent du texte qui a probablement été copié d'une de 5 IA génératives dans Wikipédia. Cette fonctionalité est connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check|Vérification du collage de LLM]]. C'est un type de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check|Vérification des modifications]] qui est configurable par communauté. La vérification cherche des marques dans l'HTML copié et n'utilise pas de la détection de tatouage numérique (watermark). Les modifications seront aussi [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Edit tags|marquées]] pour que les patrouilleurs puissent les revoir en détail. Cette fonctionalité aide les nouveaux ajouter du contenu qui respecte les règles de Wikipédia et rend l'identification de contributions problèmatiques plus facile pour les utilisateurs expérimentés. Les communautés avec des règles locales sur l'usage de LLM peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Configuration|ajuster la formulation et les règles liées]]. L'équipe s'[[listarchive:list/translators-l@lists.wikimedia.org/message/EVHKWJ4IERZELMPIWNH3XUVUSQV5KOO4/|excuse]] que cette fonctionalité a été poussée sans un délai pour les traductions.
* Les utilisateurs peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|accéder facilement à l'éditeur visuel web directement depuis les applications iOS et Android]]. À l'ouverture de l'éditeur, les utilisateurs ont le choix entre l'édition visuelle et l'édition source. S'ils optent pour l'édition visuelle, ils sont redirigés vers une page web mobile dans leur navigateur internet. Une fois la modification terminée, une bannière leur permet de revenir à l'application. Cela permet aux lecteurs d'apporter rapidement des contributions tout en consultant le contenu, et facilite la transition vers la version web mobile.
* Les utilisateurs des applications Android et iOS de Wikipédia verront désormais une proposition unique de création d'un compte après avoir utilisé l'application pendant deux semaines consécutives. Cette bannière explique les avantages d'avoir un compte. Il est destiné à aider les lecteurs occasionnels à devenir des utilisateurs connectés qui reviennent régulièrement aux applications. [https://phabricator.wikimedia.org/T434847]
* Les contributeurs à des [[wmnoc:conf/dblists/group1.dblist|wikis de groupe 1]] (dont Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage et Wikisource) ne verront plus de notifications dans les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Recent changes|modifications récentes]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Help: Watching pages|liste de suivi]] lorsqu'un lien vers une version d'un autre langage d'une page est ajouté, enlevé ou modifié sur Wikidata. Ce changement débutera le 5 octobre à 7h UTC en tant que test de 2 semaines pour réduire les notification à fort volume et de valeur basse ainsi que de rendre les modification importantes plus faciles à voir. Les utilisateurs qui se basent sur ces modifications peuvent en lire plus sur la [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|page du projet]] et partager du retour ou des préoccupations sur la [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|page Discussion]] [https://phabricator.wikimedia.org/T439415]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:36|la tâche soumise|les {{formatnum:36}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:36||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les mentors qui se sont retirés du programme de mentorat pouvaient encore avoir des novices qui leur étaient affectés et recevaient des questions a été résolu. Les novices seront désormais réaffectés quand un mentor quittera le programme. [https://phabricator.wikimedia.org/T418194]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Wikimédia Brésil a publié son [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Brasil/Arcabouço de Boas Práticas de Desenvolvimento|Framework des Bonnes Pratiques de Développement]]. C'est un guide pour les staff, contracteurs et volontaires qui créent des outils et des projets techniques. Il couvre le cycle de vie du projet, la sécurité, l'accessibilité, la sécurité des données personnelles et l'utilisation responsable de l'IA, et explique comment des règles d'un projet ont été adaptées à un contexte local. D'autres affiliés sont encouragés à le réutiliser et à l'adapter. En lire plus dans le [[wmfblog:2026/09/26/wikimedia-brasils-development-best-practices-framework-technical-sustainability-as-an-organizational-responsibility|post Diff]]. 
* Une nouvelle base canonique d'URL pour les API Wikimedia sera bientôt introduite. Cette nouvelle route canonique suit le modèle &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{projectName}/api/&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et servira de voie alternative aux API REST actuelles (par exemple : &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{projectName}/w/rest.php/&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;). Les deux versions seront appelées pour toutes les API existantes, mais la nouvelle structure sera le chemin préféré pour les modules API nouvellement créés. Ce changement ne devrait pas casser la plupart des flux de travail. Les URLs existantes resteront disponibles pour toutes les demandes de points finaux existants. Cependant, certains appels peuvent retourner des URL suivant le nouveau modèle dans le corps de la réponse. Les modifications seront d'abord disponibles sur Test Wiki, avec le déploiement prévu pour tous les wikis d'ici la fin octobre. [https://phabricator.wikimedia.org/T433535]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.23|MediaWiki]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W41&quot;/&gt;

5 octobre 2026 à 18:52 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=31098825 --&gt;</text>
      <sha1>59z7725544reikw8ehp1thmu7bqwryu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987328</id>
      <parentid>987308</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:40:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
        <id>20848</id>
      </contributor>
      <comment>/* Tech News: 2026-42 */ nouvelle section</comment>
      <origin>987328</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23092" sha1="1trktr7t1o3ofhls9taexbaxhcqazwt" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|10}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;
== Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist ==
''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)''

Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].&lt;br/&gt;Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]])  sent via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 octobre 2026 à 12:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&amp;oldid=31106967 --&gt;

== Harcèlement par hCaptcha ==
J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message &quot;Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer&quot; (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC)

:Bonsoir Marvoir via @[[Utilisateur:~2026-52884-74|~2026-52884-74]]
:Ce comportement du site n'est effectivement pas normal. Je n'ai jamais rien eu de la sorte en plus de 15 ans de connexion. Mais je vois que tu as contribué depuis avec ton compte. J'imagine que le problème fut passagé. Reviens vers moi en me notifiant si ça revient et se prolonge, je peux alors laisser un message dans Fabricator pour signaler le bug.
:En visitant ton profil utilisateur, j'ai remarqué que tu échanges des messages concernant Wikipédia avec divers contributeurs. C'est inabituel, mais j'imagine que c'est sans doute parce que tu as été bloqué là-bas. J'ai vu juste ?
:Bien à toi,  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 12 octobre 2026 à 21:31 (UTC)

== Des RAW tout frais, à lire sans délai ! ==
&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

'''Contribuer, chacun à sa manière'''

Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW !

Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88.

Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]].

Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions !

----

Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;L'Interview&lt;/span&gt;''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

[[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] !

[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-41 ==
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W41&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Le processus relatif à la liste de souhaits communautaires de cette année [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027#Updated Community Wishlist Process 2027/2028|a été publié]], en tenant compte des commentaires de la communauté. La période de soumission des souhaits [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is the deadline for submitting wishes?|prendra fin le 8 novembre]]. Cette année, [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027/Working group|un groupe de travail (appel à volontariat ouvert)]] composé de membres de la communauté connaissant bien les aspects techniques de nos wikis et de membres du personnel de la Fondation Wikimedia se chargera du [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is triage?|processus de triage]]. Le triage devrait être terminé d'ici la fin novembre. Le vote sur les souhaits débutera en janvier.

'''Actualités pour la contribution'''
* Les utilisateurs adeptes de l'[[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|éditeur visuel]] verront maintenant un avertissement lorsqu'ils collent du texte qui a probablement été copié d'une de 5 IA génératives dans Wikipédia. Cette fonctionalité est connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check|Vérification du collage de LLM]]. C'est un type de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check|Vérification des modifications]] qui est configurable par communauté. La vérification cherche des marques dans l'HTML copié et n'utilise pas de la détection de tatouage numérique (watermark). Les modifications seront aussi [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Edit tags|marquées]] pour que les patrouilleurs puissent les revoir en détail. Cette fonctionalité aide les nouveaux ajouter du contenu qui respecte les règles de Wikipédia et rend l'identification de contributions problèmatiques plus facile pour les utilisateurs expérimentés. Les communautés avec des règles locales sur l'usage de LLM peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Configuration|ajuster la formulation et les règles liées]]. L'équipe s'[[listarchive:list/translators-l@lists.wikimedia.org/message/EVHKWJ4IERZELMPIWNH3XUVUSQV5KOO4/|excuse]] que cette fonctionalité a été poussée sans un délai pour les traductions.
* Les utilisateurs peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|accéder facilement à l'éditeur visuel web directement depuis les applications iOS et Android]]. À l'ouverture de l'éditeur, les utilisateurs ont le choix entre l'édition visuelle et l'édition source. S'ils optent pour l'édition visuelle, ils sont redirigés vers une page web mobile dans leur navigateur internet. Une fois la modification terminée, une bannière leur permet de revenir à l'application. Cela permet aux lecteurs d'apporter rapidement des contributions tout en consultant le contenu, et facilite la transition vers la version web mobile.
* Les utilisateurs des applications Android et iOS de Wikipédia verront désormais une proposition unique de création d'un compte après avoir utilisé l'application pendant deux semaines consécutives. Cette bannière explique les avantages d'avoir un compte. Il est destiné à aider les lecteurs occasionnels à devenir des utilisateurs connectés qui reviennent régulièrement aux applications. [https://phabricator.wikimedia.org/T434847]
* Les contributeurs à des [[wmnoc:conf/dblists/group1.dblist|wikis de groupe 1]] (dont Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage et Wikisource) ne verront plus de notifications dans les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Recent changes|modifications récentes]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Help: Watching pages|liste de suivi]] lorsqu'un lien vers une version d'un autre langage d'une page est ajouté, enlevé ou modifié sur Wikidata. Ce changement débutera le 5 octobre à 7h UTC en tant que test de 2 semaines pour réduire les notification à fort volume et de valeur basse ainsi que de rendre les modification importantes plus faciles à voir. Les utilisateurs qui se basent sur ces modifications peuvent en lire plus sur la [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|page du projet]] et partager du retour ou des préoccupations sur la [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|page Discussion]] [https://phabricator.wikimedia.org/T439415]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:36|la tâche soumise|les {{formatnum:36}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:36||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les mentors qui se sont retirés du programme de mentorat pouvaient encore avoir des novices qui leur étaient affectés et recevaient des questions a été résolu. Les novices seront désormais réaffectés quand un mentor quittera le programme. [https://phabricator.wikimedia.org/T418194]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Wikimédia Brésil a publié son [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Brasil/Arcabouço de Boas Práticas de Desenvolvimento|Framework des Bonnes Pratiques de Développement]]. C'est un guide pour les staff, contracteurs et volontaires qui créent des outils et des projets techniques. Il couvre le cycle de vie du projet, la sécurité, l'accessibilité, la sécurité des données personnelles et l'utilisation responsable de l'IA, et explique comment des règles d'un projet ont été adaptées à un contexte local. D'autres affiliés sont encouragés à le réutiliser et à l'adapter. En lire plus dans le [[wmfblog:2026/09/26/wikimedia-brasils-development-best-practices-framework-technical-sustainability-as-an-organizational-responsibility|post Diff]]. 
* Une nouvelle base canonique d'URL pour les API Wikimedia sera bientôt introduite. Cette nouvelle route canonique suit le modèle &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{projectName}/api/&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et servira de voie alternative aux API REST actuelles (par exemple : &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{projectName}/w/rest.php/&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;). Les deux versions seront appelées pour toutes les API existantes, mais la nouvelle structure sera le chemin préféré pour les modules API nouvellement créés. Ce changement ne devrait pas casser la plupart des flux de travail. Les URLs existantes resteront disponibles pour toutes les demandes de points finaux existants. Cependant, certains appels peuvent retourner des URL suivant le nouveau modèle dans le corps de la réponse. Les modifications seront d'abord disponibles sur Test Wiki, avec le déploiement prévu pour tous les wikis d'ici la fin octobre. [https://phabricator.wikimedia.org/T433535]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.23|MediaWiki]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W41&quot;/&gt;

5 octobre 2026 à 18:52 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=31098825 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-42&lt;/span&gt; ==
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W42&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Starting October 13, wikis can change the default pattern for [[:en:Wikipedia:VisualEditor/Named references|auto-generated reference names in VisualEditor]] (currently &lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot; inline&gt;&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;). They will be able to use human-readable, content-based reference names that are more helpful to contributors using the source editor (e.g. &lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot; inline&gt;&lt;ref name=&quot;Miller2026-1&quot; /&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;). VisualEditor reference name patterns can be defined using MediaWiki system messages, JSON, templates and modules ([[:mw:Special:MyLanguage/Help:Cite/VisualEditor reference names|more information]]). Admins can enable these changes via [[Special:CommunityConfiguration/Cite-VisualEditor-Autonames|community configuration]]. This is a [[:m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist/W17|community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T436255]
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]] is a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details. It will be deployed to English Wikipedia on October 14 and to remaining Wikimedia Foundation wikis by end of October (likely October 21). The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] lists possible actions to take on your wiki to support the deployment. This is a [[:m:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/History|long-standing community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440243][https://phabricator.wikimedia.org/T440304]

'''Updates for editors'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Moderator Tools]] will be removing the list view of the Watchlist and defaulting everyone to the changelog view. Previously, there were two versions of how the Watchlist is shown to mobile web users: the list view, where editors could see watched articles in a list format, and the changelog view, where editors could see changes to watched articles in a log format, controlled by a user's Advanced Mobile Control settings. This has created issues for code-base maintenance: two different displays means two sets of code to manage. By defaulting to the changelog view, we are simplifying the codebase and avoiding the likelihood of missing bugs.
* The Wikipedia Android app is testing a way to listen to article introductions in the “For you” feed. A text-to-speech model reads the existing article text aloud without rewriting it or adding any content. The 30-day experiment will begin in the Wikipedia Beta app during the third week of September, then move to the regular Wikipedia Android app in October for a limited group of eligible users. A small portion of app users (those with English feeds and at least one topic interest) will have access to the feature. This experiment is part of broader efforts to give app readers options in how they consume content in order to deepen engagement and user retention. [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Listening to Wikipedia/Phase 1|Learn more]] and [[mw:Talk:Readers/Listening to Wikipedia|share feedback]].
* [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror syntax highlighting]] was [[phab:T288161|enabled]] by default for all logged out and newly registered users on the English Wikipedia on September 14. With no signs of adverse effects, the same change is being proposed to be made globally across all wikis in a few weeks. If you have concerns or feedback, or if your wiki would like to opt out, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror#Enabling CodeMirror by default on all WMF wikis for newbies|please see the help page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440077]
* [[d:Wikidata:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|Wikidata mobile statement editing]] of all datatypes will be officially launched on October 13, when it will be removed from Wikidata [[d:Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|beta features]] and become available to all editors. Users can [[d:Wikidata_talk:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|report bugs and share feedback]].
* Last week, language link changes were removed from [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] feeds on Wikivoyage, Wikisource, Wikiversity, Wikiquote and Wiktionary. As no adverse effects have been observed, the [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] plans to roll out this change globally to all Wikipedias. This is scheduled for October 13 at 07:00 UTC, after which editors will no longer see when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. Editors who rely on these notifications can read more on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project page]] and share feedback or ask to opt out their wiki on the [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440698]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where accidentally touching the graph while scrolling on the Pageviews tool on mobile could unintentionally zoom in has now been fixed. Click-and-drag zoom is now disabled on touch devices. [https://phabricator.wikimedia.org/T440075]

'''Updates for technical contributors'''
* There are three major changes coming to dumps: the legacy content dumps [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/xmldatadumps-l@lists.wikimedia.org/thread/E6D5EU4PMSTSOI2J7A46HJ3YW2W554CS/ deprecated in January 2026] will now be sunset, the replacement [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/MediaWiki_Content_File_Exports MediaWiki Content File Exports] will be delayed to implement a “safety buffer”, and they are now also available as 7zip-compressed files. Users will need to switch the URL they download their dump from. For more information, timeline and migration instructions, see [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/Legacy_content_dumps_sunset Legacy content dumps sunset].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.24|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The Wikimedia Foundation discovered unauthorized activity by OpenAI agents on Wikimedia projects, including edits to wikis, attempts to exploit a public note-taking tool, and heavy automated traffic. [[diffblog:2026/10/05/openai-rogue-agent-activities-found-on-wikimedia-projects/|Read the blog post on Diff]] for more details about the activity and the Foundation’s response.

'''Meetings and events'''
* Save the date for the next Wikimedia Hackathon! We’ll be meeting in lovely Tirana, Albania for the [https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia%20Hackathon%202027 2027 Wikimedia Hackathon] from April 9–11, 2027. Scholarship and staff sponsorship applications are currently being [https://pretix.eu/wikimedia/Hackathon-2027/ accepted through Pretix] and will close on October 30, 2026. General registration will open in January 2027.

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W42&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 13 octobre 2026 à 07:40 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=31142468 --&gt;</text>
      <sha1>1trktr7t1o3ofhls9taexbaxhcqazwt</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>